Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABC có $SA=SB=SC=a$, $\widehat{ASB}=60{}^\circ ,\widehat{BSC}=90{}^\circ ,\widehat{ASC}=120{}^\circ $. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho $\dfrac{CN}{SC}=\dfrac{AM}{AB}$. Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN.
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{72}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{72}$
C. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$
Ta có thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\sqrt{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
Đặt $\dfrac{CN}{SC}=\dfrac{AM}{AB}=m$ (với $0\le m\le 1$ ).
Ta có: $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{c},\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{c} \right|=a$,
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=0,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức véctơ $\overrightarrow{SN}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+m\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}-\left[ \overrightarrow{a}+m\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \right) \right]=\left( m-1 \right)\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}$.
Do đó $M{{N}^{2}}={{\left[ \left( m-1 \right)\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{c} \right]}^{2}}=\left( 3{{m}^{2}}-5m+3 \right){{a}^{2}}\ge \dfrac{11{{\text{a}}^{2}}}{12}$.
Dấu "=" xảy ra tại $m=\dfrac{5}{6}$
$\Rightarrow V=\dfrac{SN}{SC}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{AM}{AB}{{V}_{0}}=m\left( 1-m \right){{V}_{0}}=\dfrac{5}{6}.\dfrac{1}{6}.\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{72}$
B. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{72}$
C. $\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$
Ta có thể tích khối chóp S.ABC là
${{V}_{0}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\sqrt{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}-{{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$.
Đặt $\dfrac{CN}{SC}=\dfrac{AM}{AB}=m$ (với $0\le m\le 1$ ).
Ta có: $\overrightarrow{SA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{c},\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=\left| \overrightarrow{c} \right|=a$,
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=0,\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}=-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức véctơ $\overrightarrow{SN}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+m\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM}=\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}-\left[ \overrightarrow{a}+m\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a} \right) \right]=\left( m-1 \right)\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{c}$.
Do đó $M{{N}^{2}}={{\left[ \left( m-1 \right)\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{c} \right]}^{2}}=\left( 3{{m}^{2}}-5m+3 \right){{a}^{2}}\ge \dfrac{11{{\text{a}}^{2}}}{12}$.
Dấu "=" xảy ra tại $m=\dfrac{5}{6}$
$\Rightarrow V=\dfrac{SN}{SC}.{{V}_{S.ABC}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{AM}{AB}{{V}_{0}}=m\left( 1-m \right){{V}_{0}}=\dfrac{5}{6}.\dfrac{1}{6}.\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}=\dfrac{5\sqrt{2}{{a}^{3}}}{432}$.
Đáp án C.