Cho khối chóp S.ABC có $S A = S B = S C = a$ , $\widehat{ASB}=60{}^\circ...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABC có

S A = S B = S C = a

,

\hat{A S B} = 60^{\circ}, \hat{B S C} = 90^{\circ}, \hat{A S C} = 120^{\circ}

. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh AB và SC sao cho

\frac{C N}{S C} = \frac{A M}{A B}

. Khi khoảng cách giữa M và N nhỏ nhất, tính thể tích V của khối chóp S.AMN.
A.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{72}

B.

\frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{72}

C.

\frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{432}

D.

\frac{\sqrt{2} a^{3}}{432}

Ta có thể tích khối chóp S.ABC là

V_{0} = \frac{a^{3}}{6} \sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12}

.
Đặt

\frac{C N}{S C} = \frac{A M}{A B} = m

(với

0 \leq m \leq 1

).
Ta có:

\vec{S A} = \vec{a}, \vec{S B} = \vec{b}, \vec{S C} = \vec{c}, | \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} | = a

,

\vec{a} . \vec{b} = \frac{a^{2}}{2}, \vec{b} . \vec{c} = 0, \vec{a} . \vec{c} = - \frac{a^{2}}{2}

.
Theo đẳng thức trên ta có đẳng thức véctơ

\vec{S N} = (1 - m) \vec{c}

,

\vec{S M} = \vec{S A} + \vec{A M} = \vec{a} + m \vec{A B} = \vec{a} + m (\vec{b} - \vec{a})

\Rightarrow \vec{M N} = \vec{S N} - \vec{S M} = (1 - m) \vec{c} - [\vec{a} + m (\vec{b} - \vec{a})] = (m - 1) \vec{a} - m \vec{b} + (1 - m) \vec{c}

.
Do đó

M N^{2} = {[(m - 1) \vec{a} - m \vec{b} + (1 - m) \vec{c}]}^{2} = (3 m^{2} - 5 m + 3) a^{2} \geq \frac{11 a^{2}}{12}

.
Dấu "=" xảy ra tại

m = \frac{5}{6}

\Rightarrow V = \frac{S N}{S C} . V_{S . A B C} = \frac{S N}{S C} . \frac{A M}{A B} V_{0} = m (1 - m) V_{0} = \frac{5}{6} . \frac{1}{6} . \frac{\sqrt{2} a^{3}}{12} = \frac{5 \sqrt{2} a^{3}}{432}

.

Đáp án C.

Cho khối chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, $\widehat{ASB}=60{}^\circ...