Cho khối chóp S.ABC có hai điểm $M, N$ lần lượt thuộc hai cạnh...

The Knowledge · 16/12/21

Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABC có hai điểm

M, N

lần lượt thuộc hai cạnh

S A, S B

sao cho

M A = 2 M S, N S = 2 N B .

Mặt phẳng

(α)

qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích t của hai khối đa diện đó, biết

t < 1.

A.

\frac{3}{5}

.
B.

\frac{4}{9}

.
C.

\frac{3}{4}

.
D.

\frac{4}{5}

.

Thiết diện là tứ giác MNPQ như hình vẽ với

N P // MQ // SC

.

Ta có

V_{M N A B P Q} = V_{N . A B P Q} + V_{N . A M Q}

.
+

V_{N . A B P Q} = \frac{1}{3} d (N; (A B C)) . S_{A B P Q} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} d (S; (A B C)) . (S_{A B C} - S_{C P Q}) .

+

\frac{S_{C P Q}}{S_{C B A}} = \frac{C P}{C B} . \frac{C Q}{C A} = \frac{2}{3} . \frac{1}{3} \Rightarrow S_{C P Q} = \frac{2}{9} S_{A B C} \Rightarrow V_{N . A B P Q} = \frac{1}{9} d (S; (A B C)) . \frac{7}{9} S_{A B C} = \frac{7}{27} V_{S . A B C} .

V_{N . A M Q} = \frac{1}{3} d (N; (A M Q)) . S_{A M Q} = \frac{1}{3} . \frac{2}{3} d (B; (S A C)) . \frac{4}{9} S_{S A C} = \frac{8}{27} V_{S . A B C}

\Rightarrow V_{M N A B P Q} = V_{N . A B P Q} + V_{N . A M Q} = \frac{5}{9} V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{S M N P C Q} = \frac{4}{9} V_{S . A B C D} \Rightarrow t = \frac{V_{S M N P C Q}}{V_{M N A B P Q}} = \frac{4}{5} .

Đáp án D.

Cho khối chóp S.ABC có hai điểm M,N lần lượt thuộc hai cạnh...