Google
Câu hỏi: Cho khối chóp S.ABC có hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc hai cạnh $SA,SB$ sao cho $MA=2MS,NS=2NB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích t của hai khối đa diện đó, biết $t<1.$
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\dfrac{3}{4}$.
D. $\dfrac{4}{5}$.
A. $\dfrac{3}{5}$.
B. $\dfrac{4}{9}$.
C. $\dfrac{3}{4}$.
D. $\dfrac{4}{5}$.
Thiết diện là tứ giác MNPQ như hình vẽ với $NP\text{ // MQ // SC}$.
Ta có ${{V}_{MNABPQ}}={{V}_{N.ABPQ}}+{{V}_{N.AMQ}}$.
+ ${{V}_{N.ABPQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABC \right) \right).\left( {{S}_{ABC}}-{{S}_{CPQ}} \right).$
+ $\dfrac{{{S}_{CPQ}}}{{{S}_{CBA}}}=\dfrac{CP}{CB}.\dfrac{CQ}{CA}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{CPQ}}=\dfrac{2}{9}{{S}_{ABC}}\Rightarrow {{V}_{N.ABPQ}}=\dfrac{1}{9}d\left( S;\left( ABC \right) \right).\dfrac{7}{9}{{S}_{ABC}}=\dfrac{7}{27}{{V}_{S.ABC}}.$
${{V}_{N.AMQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( AMQ \right) \right).{{S}_{AMQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}d\left( B;\left( SAC \right) \right).\dfrac{4}{9}{{S}_{SAC}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{S.ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{MNABPQ}}={{V}_{N.ABPQ}}+{{V}_{N.AMQ}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{SMNPCQ}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow t=\dfrac{{{V}_{SMNPCQ}}}{{{V}_{MNABPQ}}}=\dfrac{4}{5}.$
Ta có ${{V}_{MNABPQ}}={{V}_{N.ABPQ}}+{{V}_{N.AMQ}}$.
+ ${{V}_{N.ABPQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABPQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}d\left( S;\left( ABC \right) \right).\left( {{S}_{ABC}}-{{S}_{CPQ}} \right).$
+ $\dfrac{{{S}_{CPQ}}}{{{S}_{CBA}}}=\dfrac{CP}{CB}.\dfrac{CQ}{CA}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{CPQ}}=\dfrac{2}{9}{{S}_{ABC}}\Rightarrow {{V}_{N.ABPQ}}=\dfrac{1}{9}d\left( S;\left( ABC \right) \right).\dfrac{7}{9}{{S}_{ABC}}=\dfrac{7}{27}{{V}_{S.ABC}}.$
${{V}_{N.AMQ}}=\dfrac{1}{3}d\left( N;\left( AMQ \right) \right).{{S}_{AMQ}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}d\left( B;\left( SAC \right) \right).\dfrac{4}{9}{{S}_{SAC}}=\dfrac{8}{27}{{V}_{S.ABC}}$
$\Rightarrow {{V}_{MNABPQ}}={{V}_{N.ABPQ}}+{{V}_{N.AMQ}}=\dfrac{5}{9}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{SMNPCQ}}=\dfrac{4}{9}{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow t=\dfrac{{{V}_{SMNPCQ}}}{{{V}_{MNABPQ}}}=\dfrac{4}{5}.$
Đáp án D.