Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ $. Khi độ dài cạnh $AB$ thay đổi, thể tích khối chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất bằng
A. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}.$
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}.$
Xác định điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình vuông, đặt $AB=x>0$.
Theo giả thiết, ta có: $SD\bot \left( ABCD \right)$.
Kẻ $DH\bot SC\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right)$ và $AD \text{//} BC\Rightarrow {{d}_{\left( A; \left( SBC \right) \right)}}={{d}_{\left( D; \left( SBC \right) \right)}}=DH=a\sqrt{2}$.
Ta có: $SD=\dfrac{DC.DH}{\sqrt{D{{C}^{2}}-D{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$ và ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$.
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}, x>a\sqrt{2}$ $\to {f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{4}}-6{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2{{a}^{2}} \right)}^{3}}}}$. Cho ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=a\sqrt{3}$.
Từ đó ta có: $\underset{\left( a\sqrt{2}; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a\sqrt{3} \right)=3\sqrt{3}{{a}^{2}}\Rightarrow \min {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$.
A. $3\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
B. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{2}.$
C. $\sqrt{3}{{a}^{3}}.$
D. $\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}.$
Theo giả thiết, ta có: $SD\bot \left( ABCD \right)$.
Kẻ $DH\bot SC\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right)$ và $AD \text{//} BC\Rightarrow {{d}_{\left( A; \left( SBC \right) \right)}}={{d}_{\left( D; \left( SBC \right) \right)}}=DH=a\sqrt{2}$.
Ta có: $SD=\dfrac{DC.DH}{\sqrt{D{{C}^{2}}-D{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$ và ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$.
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}, x>a\sqrt{2}$ $\to {f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{4}}-6{{a}^{2}}{{x}^{2}}}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}-2{{a}^{2}} \right)}^{3}}}}$. Cho ${f}'\left( x \right)=0\Rightarrow x=a\sqrt{3}$.
Từ đó ta có: $\underset{\left( a\sqrt{2}; +\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a\sqrt{3} \right)=3\sqrt{3}{{a}^{2}}\Rightarrow \min {{V}_{S.ABC}}=\dfrac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{2}$.
Đáp án D.