Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B.$ Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $a\sqrt{2}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ .$ Xác định độ dài cạnh $AB$ để khối chóp $S.ABC$ có thể tích nhỏ nhất.
A. $AB=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$
B. $AB=a\sqrt{3}.$
C. $AB=2a.$
D. $AB=3a\sqrt{5}.$
Gọi $D$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD.$
Tương tự, ta cũng có $BC\bot SD$.
Từ đó suy ra $SD\bot \left( ABDC \right)$.
Kẻ $DH\bot SC\left( H\in HC \right)\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right).$
Khi đó $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=d\left( D,\left( SBC \right) \right)=DH.$
Đặt $AB=x>0$. Trong tam giác vuông $SDC$, có
$\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}.$
Suy ra $SD=\dfrac{ax\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$ Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$ trên $\left( a\sqrt{2};+\infty \right)$, ta được $\underset{\left( a\sqrt{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a\sqrt{3} \right)=3\sqrt{3}{{a}^{2}}.$
Vậy $AB=a\sqrt{3}.$
A. $AB=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}.$
B. $AB=a\sqrt{3}.$
C. $AB=2a.$
D. $AB=3a\sqrt{5}.$
Gọi $D$ là điểm sao cho $ABCD$ là hình vuông.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot AD \\
& AB\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SAD \right)\Rightarrow AB\bot SD.$
Tương tự, ta cũng có $BC\bot SD$.
Từ đó suy ra $SD\bot \left( ABDC \right)$.
Kẻ $DH\bot SC\left( H\in HC \right)\Rightarrow DH\bot \left( SBC \right).$
Khi đó $d\left( A,\left( SBC \right) \right)=d\left( D,\left( SBC \right) \right)=DH.$
Đặt $AB=x>0$. Trong tam giác vuông $SDC$, có
$\dfrac{1}{D{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{D{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{D}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}.$
Suy ra $SD=\dfrac{ax\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$ Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a{{x}^{3}}\sqrt{2}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2{{a}^{2}}}}$ trên $\left( a\sqrt{2};+\infty \right)$, ta được $\underset{\left( a\sqrt{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=f\left( a\sqrt{3} \right)=3\sqrt{3}{{a}^{2}}.$
Vậy $AB=a\sqrt{3}.$
Đáp án B.