Google
Câu hỏi: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a,$ góc giữa $SC$ với mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}},SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SB=2a.$ Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
$SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\Rightarrow SA\bot AB;SA\bot AC$ và $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$
* $\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
* $\Delta SAC$ vuông tạ $A$ có $\widehat{SCA}=\left( \widehat{SC,\left( ABC \right)} \right)={{60}^{0}}$ nên $AC=\dfrac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$
* Diện tích $\Delta ABC$ vuông tại $A$ là $\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}.$
$SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\Rightarrow SA\bot AB;SA\bot AC$ và $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$
* $\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
* $\Delta SAC$ vuông tạ $A$ có $\widehat{SCA}=\left( \widehat{SC,\left( ABC \right)} \right)={{60}^{0}}$ nên $AC=\dfrac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$
* Diện tích $\Delta ABC$ vuông tại $A$ là $\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.a.a=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Đáp án B.