Google
Câu hỏi: Cho khối cầu tâm $O$ và bán kính $R.$ Xét hai mặt phẳng $\left( P \right),$ $\left( Q \right)$ thay đổi song song với nhau có khoảng cách là $R$ và cùng cắt khối cầu theo thiết diện là hai hình tròn. Tổng diện tích của hai hình tròn này có giá trị lớn nhất là
A. $\dfrac{5}{4}\pi {{R}^{2}}.$
B. $\pi {{R}^{2}}.$
C. $\dfrac{7}{4}\pi {{R}^{2}}.$
D. $\dfrac{3}{2}\pi {{R}^{2}}.$
A. $\dfrac{5}{4}\pi {{R}^{2}}.$
B. $\pi {{R}^{2}}.$
C. $\dfrac{7}{4}\pi {{R}^{2}}.$
D. $\dfrac{3}{2}\pi {{R}^{2}}.$
Gọi $x, y$ lần lượt là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến các đường tròn thiết diện
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\ge 0 \\
& x+y=R \\
\end{aligned} \right., $ mặt khác $ {{r}_{1}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}},{{r}_{2}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{y}^{2}}}.$
Tổng diện tích của hai hình tròn này là: $S=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}=\pi \left( 2{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ nhỏ nhất.
Mặt khác ta có: $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{{{R}^{2}}}{2}$
Suy ra $S\ge \pi \left( 2{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2} \right)=\dfrac{3}{2}\pi {{R}^{2}},$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\dfrac{R}{2}.$
Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\ge 0 \\
& x+y=R \\
\end{aligned} \right., $ mặt khác $ {{r}_{1}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}},{{r}_{2}}=\sqrt{{{R}^{2}}-{{y}^{2}}}.$
Tổng diện tích của hai hình tròn này là: $S=\pi r_{1}^{2}+\pi r_{2}^{2}=\pi \left( 2{{R}^{2}}-{{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}$ nhỏ nhất.
Mặt khác ta có: $2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge {{\left( x+y \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{{{R}^{2}}}{2}$
Suy ra $S\ge \pi \left( 2{{R}^{2}}-\dfrac{{{R}^{2}}}{2} \right)=\dfrac{3}{2}\pi {{R}^{2}},$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\dfrac{R}{2}.$
Đáp án D.