Cho khối cầu tâm $O$ và bán kính $R .$ Xét hai mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho khối cầu tâm

O

và bán kính

R .

Xét hai mặt phẳng

(P),

(Q)

thay đổi song song với nhau có khoảng cách là

R

và cùng cắt khối cầu theo thiết diện là hai hình tròn. Tổng diện tích của hai hình tròn này có giá trị lớn nhất là
A.

\frac{5}{4} π R^{2} .

B.

π R^{2} .

C.

\frac{7}{4} π R^{2} .

D.

\frac{3}{2} π R^{2} .

Gọi

x, y

lần lượt là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến các đường tròn thiết diện
Theo bài ra ta có:

{\begin{aligned} x, y \geq 0 \\ x + y = R \end{aligned},

mặt khác

r_{1} = \sqrt{R^{2} - x^{2}}, r_{2} = \sqrt{R^{2} - y^{2}} .

Tổng diện tích của hai hình tròn này là:

S = π r_{1}^{2} + π r_{2}^{2} = π (2 R^{2} - x^{2} - y^{2})

lớn nhất

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2}

nhỏ nhất.
Mặt khác ta có:

2 (x^{2} + y^{2}) \geq {(x + y)}^{2} = R^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq \frac{R^{2}}{2}

Suy ra

S \geq π (2 R^{2} - \frac{R^{2}}{2}) = \frac{3}{2} π R^{2},

dấu bằng xảy ra

\Leftrightarrow x = y = \frac{R}{2} .

Đáp án D.

Cho khối cầu tâm O và bán kính R. Xét hai mặt phẳng $\left( P...