Google
Câu hỏi: Cho khối cầu $\left( S \right)$ tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đổi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.
A. $h=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$
B. $h=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$
C. $h=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$
D. $h=R\sqrt{2}$
A. $h=\dfrac{2R\sqrt{3}}{3}$
B. $h=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}$
C. $h=\dfrac{R\sqrt{3}}{3}$
D. $h=R\sqrt{2}$
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.
Vì khối trụ nội tiếp khối cầu $\Rightarrow {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4}$.
Thể tích của khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi h\left( {{R}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4} \right)=\dfrac{\pi }{4}.h\left( 4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}} \right)$.
Xét hàm số $f\left( h \right)=4{{\text{R}}^{2}}h-{{h}^{3}}$ với $h\in \left( 0;2\text{R} \right)$, có ${f}'\left( h \right)=4{{\text{R}}^{2}}-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$.
Lập bảng biến thiên, ta được $f\left( h \right)$ đạt GTLN khi và chỉ khi $h=\dfrac{2\text{R}\sqrt{3}}{3}$.
Vì khối trụ nội tiếp khối cầu $\Rightarrow {{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{\left( \dfrac{h}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4}$.
Thể tích của khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi h\left( {{R}^{2}}-\dfrac{{{h}^{2}}}{4} \right)=\dfrac{\pi }{4}.h\left( 4{{\text{R}}^{2}}-{{h}^{2}} \right)$.
Xét hàm số $f\left( h \right)=4{{\text{R}}^{2}}h-{{h}^{3}}$ với $h\in \left( 0;2\text{R} \right)$, có ${f}'\left( h \right)=4{{\text{R}}^{2}}-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow h=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}$.
Lập bảng biến thiên, ta được $f\left( h \right)$ đạt GTLN khi và chỉ khi $h=\dfrac{2\text{R}\sqrt{3}}{3}$.
Đáp án A.