Google
Câu hỏi: Cho khối cầu có bán kính bằng 5. Xác định độ dài bán kính đáy của khối trụ nội tiếp khối cầu đã cho, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu.
A. $\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{5}{2}$
Đây là mặt cắt ngang của khối trụ nội tiếp khối cầu (B là tâm đường tròn đáy khối trụ, AB là bán kính, O là tâm khối cầu).
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=100\pi $
Gọi bán kính đáy khối trụ là $AB=x\Rightarrow OB=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Diện tích xung quanh của khối trụ là
${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .x.2.\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Do diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 2\pi .x.2.\sqrt{25-{{x}^{2}}}=\dfrac{100\pi }{2} \\
& \Leftrightarrow x\sqrt{25-{{x}^{2}}}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned}$
A. $\sqrt{\dfrac{5}{2}}$
B. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\dfrac{5}{\sqrt{2}}$
D. $\dfrac{5}{2}$
Đây là mặt cắt ngang của khối trụ nội tiếp khối cầu (B là tâm đường tròn đáy khối trụ, AB là bán kính, O là tâm khối cầu).
Diện tích mặt cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=100\pi $
Gọi bán kính đáy khối trụ là $AB=x\Rightarrow OB=\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Diện tích xung quanh của khối trụ là
${{S}_{xq}}=2\pi rh=2\pi .x.2.\sqrt{25-{{x}^{2}}}$
Do diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu
$\begin{aligned}
& \Rightarrow 2\pi .x.2.\sqrt{25-{{x}^{2}}}=\dfrac{100\pi }{2} \\
& \Leftrightarrow x\sqrt{25-{{x}^{2}}}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{\sqrt{2}} \\
\end{aligned}$
Đáp án C.