Google
Câu hỏi: Cho khai triển nhị thức Niuton ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{2n}{x} \right)}^{n}}$ với $n\in \mathbb{N},x>0$. Biết rằng số hạng thứ 2 của khai triển bằng 98 và n thỏa mãn $A_{n}^{2}+6C_{n}^{3}=36n$. Trong các giá trị x sau, giá trị nào thỏa mãn?
A. $x=3.$
B. $x=4.$
C. $x=1.$
D. $x=2.$
A. $x=3.$
B. $x=4.$
C. $x=1.$
D. $x=2.$
Xét phương trình: $A_{n}^{2}+6C_{n}^{3}=36n$ (*) (Điều kiện: $n\ge 3$ và $n\in \mathbb{N}$ )
Phương trình (*) tương đương với $n\left( n-1 \right)+6\dfrac{n\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)}{3!}=36n$
$\Leftrightarrow n-1+\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=36$ (do $n\ge 3$ )
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-35=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=7\left( tm \right) \\
& n=-5\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow n=7$.
Khi $n=7$ ta có khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{14}{x} \right)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}.{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{7-k}}.{{\left( \dfrac{14}{x} \right)}^{k}}}$
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{.14}^{k}}.{{x}^{14-3k}}$
Suy ra số hạng thứ 2 trong khai triển (ứng với $k=1$ ) là $C_{7}^{1}.14.{{x}^{13}}=98{{\text{x}}^{13}}$
Theo đề bài ra ta có: $98{{\text{x}}^{13}}=98\Leftrightarrow x=1$.
Phương trình (*) tương đương với $n\left( n-1 \right)+6\dfrac{n\left( n-1 \right).\left( n-2 \right)}{3!}=36n$
$\Leftrightarrow n-1+\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)=36$ (do $n\ge 3$ )
$\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-35=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=7\left( tm \right) \\
& n=-5\left( l \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow n=7$.
Khi $n=7$ ta có khai triển ${{\left( {{x}^{2}}+\dfrac{14}{x} \right)}^{7}}=\sum\limits_{k=0}^{7}{C_{7}^{k}.{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{7-k}}.{{\left( \dfrac{14}{x} \right)}^{k}}}$
Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là ${{T}_{k+1}}=C_{7}^{k}{{.14}^{k}}.{{x}^{14-3k}}$
Suy ra số hạng thứ 2 trong khai triển (ứng với $k=1$ ) là $C_{7}^{1}.14.{{x}^{13}}=98{{\text{x}}^{13}}$
Theo đề bài ra ta có: $98{{\text{x}}^{13}}=98\Leftrightarrow x=1$.
Đáp án C.