Cho khai triển nhị thức ${{\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}x...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Cho khai triển nhị thức

{(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{10} x^{10}

. Hệ số

a_{k}

lớn nhất trong khai triển trên khi

k

bằng
A. 5.
B. 3.
C. 6.
D. 7.

Số hạng tổng quát của khai triển:

C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} . {(\frac{2}{3} x)}^{k} = C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} x^{k} = a_{k} . x^{k} (k \geq 0)

.
Giả sử

a_{k}

là hệ số lớn nhất thì

{\begin{aligned} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} \geq C_{10}^{k + 1} \frac{2^{k + 1}}{3^{10}} \\ C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} \geq C_{10}^{k - 1} \frac{2^{k - 1}}{3^{10}} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{10!}{(10 - k)! . k!} \geq \frac{2.10!}{(9 - k)! . (k + 1)!} \\ \frac{2.10!}{(10 - k)! . k!} \geq \frac{10!}{(11 - k)! . (k - 1)!} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} \frac{1}{10 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{11 - k} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} k + 1 \geq 2 (10 - k) \\ 2 (11 - k) \geq k \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} k \geq \frac{19}{3} \\ k \leq \frac{22}{3} \end{aligned} \Rightarrow k = 7

.

Đáp án D.