Google
Câu hỏi: Cho khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}},$ với n là số nguyên dương và ${{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+...+\dfrac{{{a}_{n}}}{{{2}^{n}}}=4096.$ Số lớn nhất trong các hệ số ${{a}_{0}},{{a}_{1}},...{{a}_{n}}$ là
A. 129360.
B. 126720.
C. 126270.
D. 253440.
A. 129360.
B. 126720.
C. 126270.
D. 253440.
Ta có ${{a}_{0}}+\dfrac{{{a}_{1}}}{2}+...+\dfrac{{{a}_{n}}}{n}={{\left( 1+2.\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}={{2}^{n}}$ nên theo giả thiết ta có
Vì vậy, ${{a}_{k}}<{{a}_{k+1}}\Leftrightarrow \dfrac{3k-23}{2\left( 12-k \right)}<0\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}$
Và ${{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\Leftrightarrow \dfrac{3k-23}{2\left( 12-k \right)}>0\Leftrightarrow \dfrac{23}{3}<k<12$
Do $k\in \mathbb{N}$ và $k\le 12$ nên ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<...<{{a}_{8}}>{{a}_{9}}>{{a}_{10}}>{{a}_{11}}>{{a}_{12}}.$
Vậy ${{a}_{8}}=C_{12}^{8}{{2}^{8}}=126720$ là hệ số lớn nhất.
${{2}^{n}}=4096\Leftrightarrow n=12.$
Suy ra ta có khai triển ${{\left( 1+2x \right)}^{12}}$ và số hạng tổng quát của khai triển là${{a}_{k}}{{x}^{k}}=C_{12}^{k}{{\left( 2x \right)}^{k}}=C_{12}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}.$
Do đó ${{a}_{k}}=C_{12}^{k}{{2}^{k}}$ và ${{a}_{k}}>0,\forall k\in \mathbb{N}.$ Lại có $\dfrac{{{a}_{k}}}{{{a}_{k+1}}}-1=\dfrac{C_{12}^{k}{{2}^{k}}}{C_{12}^{k+1}{{2}^{k+1}}}-1=\dfrac{3k-23}{2\left( 12-k \right)}.$ Vì vậy, ${{a}_{k}}<{{a}_{k+1}}\Leftrightarrow \dfrac{3k-23}{2\left( 12-k \right)}<0\Leftrightarrow k<\dfrac{23}{3}$
Và ${{a}_{k}}>{{a}_{k+1}}\Leftrightarrow \dfrac{3k-23}{2\left( 12-k \right)}>0\Leftrightarrow \dfrac{23}{3}<k<12$
Do $k\in \mathbb{N}$ và $k\le 12$ nên ${{a}_{0}}<{{a}_{1}}<...<{{a}_{8}}>{{a}_{9}}>{{a}_{10}}>{{a}_{11}}>{{a}_{12}}.$
Vậy ${{a}_{8}}=C_{12}^{8}{{2}^{8}}=126720$ là hệ số lớn nhất.
Đáp án B.