Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{5}^{21}{\dfrac{dx}{x\sqrt{x+4}}}=a\ln 3+b\ln 5+c\ln 7$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh để nào dưới đây đúng?
A. $a+b=-2c$.
B. $a+b=c$.
C. $a-b=-c$.
D. $a-b=-2c$.
A. $a+b=-2c$.
B. $a+b=c$.
C. $a-b=-c$.
D. $a-b=-2c$.
Đặt $t=\sqrt{x+4}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+4\Rightarrow 2tdt=dx$.
Đổi cận:
$\int\limits_{5}^{21}{\dfrac{dx}{x\sqrt{x+4}}}=\int\limits_{3}^{5}{\dfrac{2tdt}{\left( t-2 \right)\left( t+2 \right)}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{\left( \dfrac{1}{\left( t-2 \right)}-\dfrac{1}{\left( t+2 \right)} \right)dt}$
$=\left( \dfrac{1}{2}\ln \left| t-2 \right|-\dfrac{1}{2}\ln \left| t+2 \right| \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{3} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{2}\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln 5-\dfrac{1}{2}\ln 7\Rightarrow a=\dfrac{1}{2} $, $ b=\dfrac{1}{2} $, $ c=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b=-2c$.
Đổi cận:
x | 5 | 21 |
t | 3 | 5 |
$=\left( \dfrac{1}{2}\ln \left| t-2 \right|-\dfrac{1}{2}\ln \left| t+2 \right| \right)\left| \begin{aligned}
& ^{5} \\
& _{3} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{2}\ln 3+\dfrac{1}{2}\ln 5-\dfrac{1}{2}\ln 7\Rightarrow a=\dfrac{1}{2} $, $ b=\dfrac{1}{2} $, $ c=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b=-2c$.
Đáp án A.