Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{4}^{25}{\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{x}+2}}=a+b\ln 2+c\ln 7$ với $a,\ b,\ c$ là các số hữu tỉ. Đặt $T=a+b+c,$ mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $T\in \left( 0;4 \right).$
B. $T\in \left( 5;9 \right).$
C. $T\in \left( 9;14 \right).$
D. $T\in \left( -4;0 \right).$
A. $T\in \left( 0;4 \right).$
B. $T\in \left( 5;9 \right).$
C. $T\in \left( 9;14 \right).$
D. $T\in \left( -4;0 \right).$
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow {{t}^{2}}=x\Rightarrow 2t\text{d}t=d\text{x}$.
Đổi cận ta có: $\int\limits_{2}^{5}{\dfrac{2t\text{d}t}{t+2}}=\int\limits_{2}^{5}{\dfrac{2\left( t+2 \right)-4}{t+2}dt}$
$=\int\limits_{2}^{5}{\left( 2-\dfrac{4}{t+2} \right)dt}=\left. \left( 2t-4\ln \left| t+2 \right| \right) \right|_{2}^{5}$
$=6-4\ln 7+8\ln 2$.
Vậy $a=6,b=8,c=-4\Rightarrow a+b+c=10$.
Đổi cận ta có: $\int\limits_{2}^{5}{\dfrac{2t\text{d}t}{t+2}}=\int\limits_{2}^{5}{\dfrac{2\left( t+2 \right)-4}{t+2}dt}$
$=\int\limits_{2}^{5}{\left( 2-\dfrac{4}{t+2} \right)dt}=\left. \left( 2t-4\ln \left| t+2 \right| \right) \right|_{2}^{5}$
$=6-4\ln 7+8\ln 2$.
Vậy $a=6,b=8,c=-4\Rightarrow a+b+c=10$.
Đáp án C.