Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}dx}=a\ln \dfrac{3}{2}+b\ln c$, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của $5a+15b-11c$ bằng
A. -10
B. -15
C. 14
D. -12
A. -10
B. -15
C. 14
D. -12
Ta có $\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}=\dfrac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( 3x+2 \right)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{3x+2}\Rightarrow 2x+1=A\left( 3x+2 \right)+B\left( x-1 \right)$
Khi đó, dùng đồng nhất hệ số ta được
Cho $x=1\Rightarrow A=\dfrac{3}{5}$ ; Cho $x=0\Rightarrow B=\dfrac{1}{5}$
Khi đó ta có
$\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}dx}=\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{3}{5\left( x-1 \right)}+\dfrac{1}{5\left( 3x+2 \right)} \right)dx}=\left( \dfrac{3}{5}\ln \left| x-1 \right|+\dfrac{1}{15}\left| 3x+2 \right| \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{3} \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{3}{5}\ln \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{15}\ln \dfrac{14}{11}$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{5}, b=\dfrac{1}{15}, c=\dfrac{14}{11}\Rightarrow 5a+15b-11c=-10$
Khi đó, dùng đồng nhất hệ số ta được
Cho $x=1\Rightarrow A=\dfrac{3}{5}$ ; Cho $x=0\Rightarrow B=\dfrac{1}{5}$
Khi đó ta có
$\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}dx}=\int\limits_{3}^{4}{\left( \dfrac{3}{5\left( x-1 \right)}+\dfrac{1}{5\left( 3x+2 \right)} \right)dx}=\left( \dfrac{3}{5}\ln \left| x-1 \right|+\dfrac{1}{15}\left| 3x+2 \right| \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{3} \\
\end{aligned} \right.$
$=\dfrac{3}{5}\ln \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{15}\ln \dfrac{14}{11}$
$\Rightarrow a=\dfrac{3}{5}, b=\dfrac{1}{15}, c=\dfrac{14}{11}\Rightarrow 5a+15b-11c=-10$
Đáp án A.