Cho $\int\limits_{1}^{e}{\left( 1+x\ln x \right)dx}=a{{e}^{2}}+be+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần: $\int\limits_{a}^{b}{udv}=uv\left| \begin{aligned}
& b \\
& a \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{a}^{b}{vdu}.$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c.$
- Dựa vào các đáp án để kết luận.
Cách giải:
Ta có $\int\limits_{1}^{e}{\left( 1+x\ln x \right)dx}=\int\limits_{1}^{e}{1.dx}+\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=e-1+\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}.$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}dx \\
& dv=x.dx\Rightarrow v=\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó
$\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx}=\dfrac{{{x}^{2}}}{2}\ln x\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{xdx}$
$=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}-\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{{{e}^{2}}}{2}-\dfrac{{{e}^{2}}}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{{{e}^{2}}}{4}+\dfrac{1}{4}.$
Suy ra $\int\limits_{1}^{e}{\left( 1+x\ln x \right)dx}=e-1+\dfrac{{{e}^{2}}}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{{{e}^{2}}}{4}+e-\dfrac{3}{4}$ nên $a=\dfrac{1}{4};b=1;c=-\dfrac{3}{4}.$
Vậy $a-b=c.$