Cho $\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}{{\left(...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

\int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} {(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1})}^{2} d x = \frac{a}{b} + 2 \ln \frac{c}{d}

với a, b, c, d là các số nguyên,

\frac{a}{b}

và

\frac{c}{d}

là các phân số tối giản. Giá trị của

a + b + c + d

bằng:
A. 16
B. 18
C. 25
D. 20

Đặt

t = \sqrt{x} \Rightarrow d t = \frac{d x}{2 \sqrt{x}}

. Đổi cận

{\begin{aligned} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \end{aligned}

\Rightarrow \int_{1}^{4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} {(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1})}^{2} d x = \int_{1}^{2} {(\frac{t + 2}{t + 1})}^{2} d t = \int_{1}^{2} {(1 + \frac{1}{t + 1})}^{2} d t

= \int_{1}^{2} (1 + \frac{2}{t + 1} + \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}) d t = {(t + 2 \ln | t + 1 | - \frac{1}{t + 1}) |}_{1}^{2}

= 2 + 2 \ln 3 - \frac{1}{3} - 1 - 2 \ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{6} + 2 \ln \frac{3}{2} = \frac{a}{b} + 2 \ln \frac{c}{d}

\Rightarrow a = 7; b = 6; c = 3; d = 2 \Rightarrow a + b + c + d = 7 + 6 + 3 + 2 = 18

.

Đáp án B.