Cho $\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{3+\ln x}{{{\left( x+1...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho

\int_{1}^{3} \frac{3 + \ln x}{{(x + 1)}^{2}} d x = a \ln 3 + b \ln 2 + c

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của

a^{2} + b^{2} - c^{2}

bằng
A.

\frac{17}{18}

.
B.

\frac{1}{8}

.
C. 1.
D. 0.

I = \int_{1}^{3} \frac{3 + \ln x}{{(x + 1)}^{2}} d x

Đặt

{\begin{aligned} u = 3 + \ln x \\ d v = \frac{d x}{{(x + 1)}^{2}} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = \frac{d x}{x} \\ v = \frac{- 1}{x + 1} \end{aligned}

.
Khi đó ta có:

I = - \frac{3 + \ln x}{x + 1} | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned} + \int_{1}^{3} \frac{d x}{x (x + 1)} = - \frac{3 + \ln x}{x + 1} | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned} + \ln x | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned} - \ln (x + 1) | \begin{aligned} 3 \\ 1 \end{aligned}

= \frac{3}{4} \ln 3 - \ln 2 + \frac{3}{4}

Suy ra

{\begin{aligned} a = \frac{3}{4} \\ b = - 1 \\ c = \frac{3}{4} \end{aligned} \Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} = 1

Đáp án C.