Cho $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x-5\sin x+6}dx}=a\ln \dfrac{4}{b}.$ Giá trị của $a+b$ bằng:

(VD) – Tích phân
Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $t=\sin x.$
- Phân tích $\dfrac{1}{\left( t-2 \right)\left( t-3 \right)}=\dfrac{1}{t-3}-\dfrac{1}{t-2}.$
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{ax+b}}=\dfrac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C.$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b$
Cách giải:
Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.,$ khi đó
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x-5\sin x+6}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dt}{{{t}^{2}}-5t+6}}$
$=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dt}{\left( t-2 \right)\left( t-2 \right)}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{1}{t-3}-\dfrac{1}{t-2} \right)dt}}$
$=\left( \ln \left| t-3 \right|-\ln \left| t-2 \right| \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\ln \left| \dfrac{t-3}{t-2} \right|\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.$
$=\ln 2-\ln \dfrac{3}{2}=\ln \dfrac{4}{3}$
$\Rightarrow a=1,b=3$
Vậy $a+b=1+3=4.$