Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{1}{x\ln (2+{{x}^{2}})d\text{x}}=a\ln 3+b\ln 2+c$ với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. 2
B. 1
C. $\dfrac{3}{2}$
D. 0
A. 2
B. 1
C. $\dfrac{3}{2}$
D. 0
Đặt $t=2+{{x}^{2}}\Rightarrow dt=2\text{xd}x$.
Đổi cận $\left| \begin{aligned}
& x=0\to t=2 \\
& x=1\to t=3 \\
\end{aligned} \right.$
$\int\limits_{0}^{1}{x\ln (2+{{x}^{2}})d\text{x}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{3}{\ln t\text{d}t}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln t \\
& dv=dt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dt}{t} \\
& v=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{2}^{3}{\ln t\text{d}t}=\left. t\ln t \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{dt}=\left. t\ln t \right|_{2}^{3}-\left. t \right|_{2}^{3}=3\ln 3-2\ln 2-1$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x\ln (2+{{x}^{2}})}=\dfrac{3}{2}\ln 3-\ln 2-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{2},b=-1,c=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b+c=0$.
Đổi cận $\left| \begin{aligned}
& x=0\to t=2 \\
& x=1\to t=3 \\
\end{aligned} \right.$
$\int\limits_{0}^{1}{x\ln (2+{{x}^{2}})d\text{x}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{2}^{3}{\ln t\text{d}t}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln t \\
& dv=dt \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{dt}{t} \\
& v=t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{2}^{3}{\ln t\text{d}t}=\left. t\ln t \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{dt}=\left. t\ln t \right|_{2}^{3}-\left. t \right|_{2}^{3}=3\ln 3-2\ln 2-1$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x\ln (2+{{x}^{2}})}=\dfrac{3}{2}\ln 3-\ln 2-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a=\dfrac{3}{2},b=-1,c=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow a+b+c=0$.
Đáp án D.