Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=a+b\ln 2+c\ln 3}$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Giá trị của $a+b+c$ bằng
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. $\dfrac{5}{12}$.
C. $-\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{12}$.
A. $\dfrac{1}{4}$.
B. $\dfrac{5}{12}$.
C. $-\dfrac{1}{3}$.
D. $\dfrac{1}{12}$.
Ta có : $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1}{2\left( 2x+1 \right)}dx-}}\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{1}{2{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}dx}$
$=\left. \dfrac{1}{4}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{1}+\left. \dfrac{1}{4\left( 2x+1 \right)} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}\ln 3+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{6}+0\ln 2+\dfrac{1}{4}\ln 3$
Từ đây ta suy ra : $a=-\dfrac{1}{6};b=0;c=\dfrac{1}{4}$. Giá trị $a+b+c=\dfrac{1}{12}$.
$=\left. \dfrac{1}{4}\ln \left| 2x+1 \right| \right|_{0}^{1}+\left. \dfrac{1}{4\left( 2x+1 \right)} \right|_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}\ln 3+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{6}+0\ln 2+\dfrac{1}{4}\ln 3$
Từ đây ta suy ra : $a=-\dfrac{1}{6};b=0;c=\dfrac{1}{4}$. Giá trị $a+b+c=\dfrac{1}{12}$.
Đáp án D.