Cho $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}}=a+b\ln 2+c\ln 3$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a+b+c$ bằng

Đặt $t=2x+1\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{2},$ đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=1 \\
& x=1\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right..$
$\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{xdx}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}}=\int\limits_{1}^{3}{\dfrac{\left( t-1 \right)dt}{4{{t}^{2}}}}=\dfrac{1}{4}\int\limits_{1}^{3}{\left( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{{{t}^{2}}} \right)dt}=\left( \dfrac{1}{4}\ln \left| t \right|+\dfrac{1}{4t} \right)\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}\ln 3-\dfrac{1}{6}$
Vậy $a=-\dfrac{1}{6},b=0,c=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a+b+c=\dfrac{1}{12}.$