Google
Câu hỏi: Cho $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( {{x}^{2}}+x \right){{e}^{x}}}{x+{{e}^{-x}}}dx=a.e+b\ln \left( e+c \right)}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Tính $P=a+2b-c$.
A. $P=1$
B. $P=-1$
C. $P=0$
D. $P=-2$
A. $P=1$
B. $P=-1$
C. $P=0$
D. $P=-2$
Ta có $I=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( {{x}^{2}}+x \right){{e}^{x}}}{x+{{e}^{-x}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{\left( x+1 \right){{e}^{x}}x{{e}^{x}}}{x{{e}^{x}}+1}dx}}$
Đặt $t=x{{e}^{x}}+1\Rightarrow dt=\left( 1+x \right)e{}^{x}dx$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=e+1$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{e+1}{\dfrac{t-1}{t}dt=\int\limits_{1}^{e+1}{\left( 1-\dfrac{1}{t} \right)dt=\left( t-\ln \left| t \right| \right)\left| _{{{1}^{{}}}}^{e+1} \right.}}=e-\ln \left( e+1 \right)$
Suy ra $a=1,b=-1,c=1$. Vậy $P=a+2b-c=-2$
Đặt $t=x{{e}^{x}}+1\Rightarrow dt=\left( 1+x \right)e{}^{x}dx$
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=1;x=1\Rightarrow t=e+1$
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{e+1}{\dfrac{t-1}{t}dt=\int\limits_{1}^{e+1}{\left( 1-\dfrac{1}{t} \right)dt=\left( t-\ln \left| t \right| \right)\left| _{{{1}^{{}}}}^{e+1} \right.}}=e-\ln \left( e+1 \right)$
Suy ra $a=1,b=-1,c=1$. Vậy $P=a+2b-c=-2$
Đáp án D.