Cho $\int{2x\left( 3x-2 \right)dx}=A{{\left( 3x-2...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho

\int 2 x (3 x - 2) d x = A {(3 x - 2)}^{8} + B {(3 x - 2)}^{7} + C

với

A, B, C \in R

. Tính giá trị của biểu thức

12 A + 7 B

.
A.

\frac{23}{252} .

B.

\frac{241}{252} .

C.

\frac{52}{9} .

D.

\frac{7}{9} .

Ta có:

I = \int 2 x {(3 x - 2)}^{6} d x

.
Đặt

3 x - 2 = t \Rightarrow x = \frac{t + 2}{3} \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d t

.
Suy ra

I = \int \frac{2}{9} (t + 2) t^{6} d t = \frac{2}{9} \int (t^{7} + 2 t^{6}) d t = \frac{2}{9} (\frac{t^{8}}{8} + \frac{2 t^{7}}{7}) + C = \frac{1}{36} t^{8} + \frac{4}{63} t^{7} + C

\Rightarrow I = \frac{1}{36} {(3 x - 2)}^{8} + \frac{4}{63} {(3 x - 2)}^{7} + C \Rightarrow {\begin{aligned} A = \frac{1}{36} \\ B = \frac{4}{63} \end{aligned} \Rightarrow 12 A + 7 B = 12. \frac{1}{36} + 7. \frac{4}{63} = \frac{7}{9} .

Đáp án D.