Google
Câu hỏi: Cho $I=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx}$. Nếu đặt $t=\sqrt{x+1}$ thì $I=\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( t \right)dt},$ trong đó $f\left( t \right)$ bằng
A. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t$
B. $f\left( t \right)={{t}^{2}}-t$
C. $f\left( t \right)=t-1$
D. $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$
A. $f\left( t \right)=2{{t}^{2}}-2t$
B. $f\left( t \right)={{t}^{2}}-t$
C. $f\left( t \right)=t-1$
D. $f\left( t \right)={{t}^{2}}+t$
Phương pháp:
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Ta có: ${{t}^{2}}=x+1$ nên $2tdt=dx.$ Suy ra
$I=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{1+t}.2tdt}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( t-1 \right).2tdt}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)dt}$
Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Cách giải:
Ta có: ${{t}^{2}}=x+1$ nên $2tdt=dx.$ Suy ra
$I=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{1+\sqrt{x+1}}dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{{{t}^{2}}-1}{1+t}.2tdt}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( t-1 \right).2tdt}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( 2{{t}^{2}}-2t \right)dt}$
Đáp án A.