Cho $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x{{\left( \ln x+2 \right)}^{2}}}dx}=a\ln 3+b\ln 2+\dfrac{c}{3}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}.$ Giá trị...

Phương pháp:
- Đổi biến $t=\ln x+2.$ Đổi cận.
- Tính tích phân, đồng nhất hệ số tìm $a,b,c.$
Cách giải:
Ta có $I=\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x{{\left( \ln x+2 \right)}^{2}}}dx}$
Đặt $t=\ln x+2\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}$ và $\ln x=t-2.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=2 \\
& x=e\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có: $=\int\limits_{2}^{3}{\dfrac{t-2}{{{t}^{2}}}dt}=\left( \ln t+\dfrac{2}{t} \right)\left| \begin{aligned}
& 3 \\
& 2 \\
\end{aligned} \right.=\ln 3-\ln 2-\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow a=1;b=-1;c=-1.$
Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3.$