Google
Câu hỏi: Cho $I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}dx=\dfrac{a}{b}\ln 2-\ln c$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $S=\dfrac{a+b}{c}.$
A. $S=\dfrac{5}{3}.$
B. $S=\dfrac{8}{3}.$
C. $S=\dfrac{6}{5}.$
D. $S=\dfrac{10}{3}.$
A. $S=\dfrac{5}{3}.$
B. $S=\dfrac{8}{3}.$
C. $S=\dfrac{6}{5}.$
D. $S=\dfrac{10}{3}.$
Ta có:
$I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}dx=-\int\limits_{1}^{2}{\ln xd\left( \dfrac{1}{x+1} \right)}=-\left( \dfrac{1}{x+1}\ln x \right)\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix} \right.+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{\left( x+1 \right)x}}dx=-\dfrac{1}{3}\ln 2+\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1} \right)}dx$
$=-\dfrac{1}{3}\ln 2+\left( \ln \left| x \right|-\ln \left| x+1 \right| \right)\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\dfrac{5}{3}\ln 2-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=5 \\
b=3 \\
c=3 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow S=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{8}{3}$.
$I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\ln x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}}dx=-\int\limits_{1}^{2}{\ln xd\left( \dfrac{1}{x+1} \right)}=-\left( \dfrac{1}{x+1}\ln x \right)\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix} \right.+\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{\left( x+1 \right)x}}dx=-\dfrac{1}{3}\ln 2+\int\limits_{1}^{2}{\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1} \right)}dx$
$=-\dfrac{1}{3}\ln 2+\left( \ln \left| x \right|-\ln \left| x+1 \right| \right)\left| \begin{matrix}
2 \\
1 \\
\end{matrix} \right.=\dfrac{5}{3}\ln 2-\ln 3\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=5 \\
b=3 \\
c=3 \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow S=\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{8}{3}$.
Đáp án B.