Google
Câu hỏi: Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường parabol $\left( P \right)$ có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox.
A. $V=\dfrac{128\pi }{5}.$
B. $V=\dfrac{128\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{64\pi }{5}.$
D. $V=\dfrac{256\pi }{5}.$
A. $V=\dfrac{128\pi }{5}.$
B. $V=\dfrac{128\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{64\pi }{5}.$
D. $V=\dfrac{256\pi }{5}.$
Phương trình parabol $\left( P \right)$ có dạng $y=a{{x}^{2}}$ đi qua điểm $B\left( 4;4 \right)$.
$\Rightarrow 4=a{{.4}^{2}}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}$ nên $\left( P \right):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$.
Gọi $\left( H \right)$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=4$, đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $x=0$.
Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh Ox là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left[ {{4}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]dx}=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left[ 16-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}} \right]dx}=\pi \left( 16x-\dfrac{{{x}^{5}}}{16.5} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\pi \left( 16.4-\dfrac{{{4}^{5}}}{16.5} \right)=\dfrac{256\pi }{5}$.
Lưu ý: Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đồ thị $y=f\left( x \right);y=g\left( x \right)$, các đường thẳng $x=1,x=b$ là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$.
$\Rightarrow 4=a{{.4}^{2}}\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}$ nên $\left( P \right):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$.
Gọi $\left( H \right)$ là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=4$, đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}$ và đường thẳng $x=0$.
Khi đó, thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $\left( H \right)$ quanh Ox là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left[ {{4}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{2}} \right)}^{2}} \right]dx}=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left[ 16-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}} \right]dx}=\pi \left( 16x-\dfrac{{{x}^{5}}}{16.5} \right)\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.=\pi \left( 16.4-\dfrac{{{4}^{5}}}{16.5} \right)=\dfrac{256\pi }{5}$.
Lưu ý: Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đồ thị $y=f\left( x \right);y=g\left( x \right)$, các đường thẳng $x=1,x=b$ là $V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx}$.
Đáp án D.