Cho hình vuông có cạnh là 1. Nỗi các trung điểm của hình vuông...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hình vuông có cạnh là 1. Nỗi các trung điểm của hình vuông trên ta được một hình vuông có diện tích

S_{1}

, tiếp tục quá trình trên với các hình vuông với diện tích là

S_{2}; S_{3}; . . .; S_{n}; . . .

.Tính tổng vô hạn

S_{1} + S_{2} + S_{3} + . . . + S_{n} + . . .

A. 1
B.

\frac{1}{2}

C. 2
D.

\frac{3}{2}

Nối các trung điểm của hình vuông cạnh 1 ta được một hình vuông có cạnh

a_{1} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

Do đó

S_{1} = a_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông có cạnh

a_{2} = \frac{a_{1}}{2} \sqrt{2} \Rightarrow S_{2} = \frac{1}{2} a_{1}^{2} = \frac{1}{2} S_{1} .

Do đó tổng vô hạn

S_{1} + S_{2} + S_{3} + . . . + S_{n} = lim (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{2^{n}}) = lim \frac{1}{2} . \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}} = lim [1 - \frac{1}{2^{n}}] = 1.

Đáp án A.