Google
Câu hỏi: Cho hình vuông có cạnh là 1. Nỗi các trung điểm của hình vuông trên ta được một hình vuông có diện tích ${{S}_{1}}$, tiếp tục quá trình trên với các hình vuông với diện tích là ${{S}_{2}};{{S}_{3}};...;{{S}_{n}};...$.Tính tổng vô hạn ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}+...$
A. 1
B. $\dfrac{1}{2}$
C. 2
D. $\dfrac{3}{2}$
A. 1
B. $\dfrac{1}{2}$
C. 2
D. $\dfrac{3}{2}$
Nối các trung điểm của hình vuông cạnh 1 ta được một hình vuông có cạnh ${{a}_{1}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
Do đó ${{S}_{1}}=a_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}.$
Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông có cạnh ${{a}_{2}}=\dfrac{{{a}_{1}}}{2}\sqrt{2}\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}a_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}{{S}_{1}}.$
Do đó tổng vô hạn ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}=\lim \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)=\lim \dfrac{1}{2}.\dfrac{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\lim \left[ 1-\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right]=1.$
Do đó ${{S}_{1}}=a_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}.$
Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông có cạnh ${{a}_{2}}=\dfrac{{{a}_{1}}}{2}\sqrt{2}\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{1}{2}a_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}{{S}_{1}}.$
Do đó tổng vô hạn ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}=\lim \left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right)=\lim \dfrac{1}{2}.\dfrac{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\lim \left[ 1-\dfrac{1}{{{2}^{n}}} \right]=1.$
Đáp án A.