Cho hình vuông ABCDvà ABEFcó cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai...

Phương pháp:
Phân chia khối đa diện: ${{V}_{ABCD.SEF}}={{V}_{C.BDSE}}+{{V}_{F.BDSE}}+{{V}_{ABDF}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}$
Cách giải:

Ta có: ${{V}_{ABCD.SEF}}={{V}_{C.BDSE}}+{{V}_{F.BDSE}}+{{V}_{ABDF}}={{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}.~$
Gọi O= AC⋂ BDta có AC⊥ BDtại O.
Gọi BS⋂ DE= H⇒ BS⊥ EDtại H.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( ABCD \right)\bot \left( ABEF \right) \\
& \left( ABCD \right)\cap \left( ABEF \right)=AB \\
& BE\subset (ABCD);BE\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BE\bot \left( ABCD \right)~.$
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& CA\bot BD \\
& CA\bot BE \\
\end{aligned} \right.~ $ ⇒ $ CA\bot \left( BDSE \right).~$
Vì ABCDlà hình vuông cạnh 1 nên $BD=\sqrt{2}.~$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BDEcó:
$BH=\dfrac{BE.BD}{\sqrt{B{{E}^{2}}+B{{D}^{2}}}}~=\dfrac{1.\sqrt{2}}{\sqrt{{{1}^{2}}+~{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow BS=2BH=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.~$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BDEcó: $DE=\sqrt{B{{E}^{2}}+B{{D}^{2}}}={{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}=\sqrt{3}.~$
$\Rightarrow {{S}_{BDSE}}=\dfrac{1}{2}BS.DE=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=\sqrt{2}.~$
$\Rightarrow {{V}_{1}}={{V}_{C.BDSE}}=\dfrac{1}{3}.CO.{{S}_{BCSE}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{1}{3}.~$
Ta có: $AF||\left( BDSE~ \right)\Rightarrow d\left( F;BDSE \right)=d\left( A;BDSE \right)=AO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
$\Rightarrow {{V}_{2}}={{V}_{F.CDSE}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}=\dfrac{1}{3}.~$
${{V}_{ABDF}}=\dfrac{1}{3}. FA.\dfrac{1}{2}.AB.AD=\dfrac{1}{6}.~$
Vậy ${{V}_{ABCD.SEF}}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}.~$