Google
Câu hỏi: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ và có diện tích ${{S}_{1}}$. Nối bốn trung điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ theo thứ tự là bốn trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ ta được hình vuông thứ hai ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ có diện tích ${{S}_{2}}$. Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba là ${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$ có diện tích ${{S}_{3}}$, … và cứ tiếp tục như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích là ${{S}_{4}},{{S}_{5}},...{{S}_{100}}$ (tham khảo hình vẽ). Biết tổng ${{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}=\dfrac{{{2}^{100}}-1}{{{2}^{93}}}$. Tính $a?$
A. $a=2$.
B. $a=8$.
C. $a=4$.
D. $a=1$.
A. $a=2$.
B. $a=8$.
C. $a=4$.
D. $a=1$.
Diện tích hình vuông $ABCD$ là ${{S}_{1}}={{a}^{2}}$.
Ta có : ${{A}_{1}}{{D}_{1}}=\sqrt{{{A}_{1}}{{A}^{2}}+A{{D}_{1}}^{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow $ Diện tích hình vuông ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ là ${{S}_{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Tương tự : ${{A}_{2}}{{D}_{2}}=\sqrt{{{A}_{1}}{{A}_{2}}^{2}+{{A}_{1}}{{D}_{1}}^{2}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow $ Diện tích hình vuông ${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$ là ${{S}_{3}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$.
Cứ tiếp tục như trên ta tính được diện tích hình vuông ${{A}_{99}}{{B}_{99}}{{C}_{99}}{{D}_{99}}$ là ${{S}_{100}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{2}^{99}}}$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}={{a}^{2}}\left( 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{{{2}^{99}}} \right).$
Do $1,\dfrac{1}{2},...\dfrac{1}{{{2}^{99}}}$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=1,q=\dfrac{1}{2},n=100$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}={{a}^{2}}\left( 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{{{2}^{99}}} \right)={{a}^{2}}\dfrac{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{100}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{99}}}={{\left( \dfrac{a}{8} \right)}^{2}}\dfrac{\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{93}}}$
Cân bằng hệ số ta được ${{\left( \dfrac{a}{8} \right)}^{2}}=1\Rightarrow a=8.$
Ta có : ${{A}_{1}}{{D}_{1}}=\sqrt{{{A}_{1}}{{A}^{2}}+A{{D}_{1}}^{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow $ Diện tích hình vuông ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ là ${{S}_{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$.
Tương tự : ${{A}_{2}}{{D}_{2}}=\sqrt{{{A}_{1}}{{A}_{2}}^{2}+{{A}_{1}}{{D}_{1}}^{2}}=\dfrac{a}{2}\Rightarrow $ Diện tích hình vuông ${{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}$ là ${{S}_{3}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$.
Cứ tiếp tục như trên ta tính được diện tích hình vuông ${{A}_{99}}{{B}_{99}}{{C}_{99}}{{D}_{99}}$ là ${{S}_{100}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{2}^{99}}}$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}={{a}^{2}}\left( 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{{{2}^{99}}} \right).$
Do $1,\dfrac{1}{2},...\dfrac{1}{{{2}^{99}}}$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}=1,q=\dfrac{1}{2},n=100$.
$\Rightarrow {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+...+{{S}_{100}}={{a}^{2}}\left( 1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{{{2}^{99}}} \right)={{a}^{2}}\dfrac{1-{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{100}}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{99}}}={{\left( \dfrac{a}{8} \right)}^{2}}\dfrac{\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{93}}}$
Cân bằng hệ số ta được ${{\left( \dfrac{a}{8} \right)}^{2}}=1\Rightarrow a=8.$
Đáp án B.