Google
Câu hỏi: Cho hình vuông ${ABCD}$ có ${AB = 2a}$, ${O}$ là giao điểm hai đường chéo và ${M}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${AD}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ngũ giác ${ABCDO}$ (miền tô đậm) quay quanh trục ${OM}$.
A. ${\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{7\pi {a^3}}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{5\pi {a^3}}}{3}}$.
D. ${\pi {a^3}}$.
A. ${\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{7\pi {a^3}}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{5\pi {a^3}}}{3}}$.
D. ${\pi {a^3}}$.
Thể tích của khối trụ do hình phẳng giới hạn bởi hình vuông ABCD quay quanh trục OM có chiều cao ${{h}_{1}}=2a,$ bán kính đáy ${{r}_{1}}=a$ là ${{V}_{1}}=\pi {{r}_{1}}^{2}{{h}_{1}}=\pi .{{a}^{2}}.2a=2\pi {{a}^{3}}$
Thể tích của khối chóp do hình phẳng giới hạn bởi tam giác AOD quay quanh trục OM có chiều cao ${{h}_{2}}=a$,bán kính đáy ${{r}_{2}}=a$ là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{2}}^{2}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ngũ giác $ABCDO$ (miền tô đậm) quay quanh trục 0M là:
$V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{3}$
Thể tích của khối chóp do hình phẳng giới hạn bởi tam giác AOD quay quanh trục OM có chiều cao ${{h}_{2}}=a$,bán kính đáy ${{r}_{2}}=a$ là ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}_{2}}^{2}{{h}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi .{{a}^{2}}.a=\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ngũ giác $ABCDO$ (miền tô đậm) quay quanh trục 0M là:
$V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=2\pi {{a}^{3}}-\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{3}=\dfrac{5\pi {{a}^{3}}}{3}$
Đáp án C.