Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với (ABCD)...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng
A.

\frac{a^{3}}{6} .

B.

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .

C.

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{16} .

D.

\frac{a^{3} \sqrt{6}}{32} .

Ta sử dụng công thức

V = \frac{1}{6} a . b . d (a, b) . \sin (a, b) .

Đặt

S A = x (x > 0) .

Tính được

K H = \frac{x^{2} a \sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}}, I H = \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}} .

Chứng minh được

H I = d (K H, A C)

và

A C ⊥ H K .

Khi đó

V_{A C H K} = \frac{1}{6} A C . K H . H I = \frac{1}{6} . a \sqrt{2} . \frac{x^{2} a \sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}} . \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{a^{4}}{3} . \frac{x^{3}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}} .

Xét hàm

f (x) = \frac{x^{3}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}

trên

(0; + \infty)

, ta có

\underset{(0; + \infty)}{m a x} f (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{16 a}

khi

x = a \sqrt{3} .

Suy ra thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng

V_{max} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16} .

Đáp án C.

Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với (ABCD)...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page