Google
Câu hỏi: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{32}.$
Ta sử dụng công thức $V=\dfrac{1}{6}a.b.d\left( a,b \right).\sin \left( a,b \right).$
Đặt $SA=x\left( x>0 \right).$
Tính được $KH=\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}},IH=\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.$
Chứng minh được $HI=d\left( KH,AC \right)$ và $AC\bot HK.$
Khi đó ${{V}_{ACHK}}=\dfrac{1}{6}AC.KH.HI=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{4}}}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, ta có $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{max}} f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{16a}$ khi $x=a\sqrt{3}.$
Suy ra thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng ${{V}_{\max }}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{32}.$
Ta sử dụng công thức $V=\dfrac{1}{6}a.b.d\left( a,b \right).\sin \left( a,b \right).$
Đặt $SA=x\left( x>0 \right).$
Tính được $KH=\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}},IH=\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.$
Chứng minh được $HI=d\left( KH,AC \right)$ và $AC\bot HK.$
Khi đó ${{V}_{ACHK}}=\dfrac{1}{6}AC.KH.HI=\dfrac{1}{6}.a\sqrt{2}.\dfrac{{{x}^{2}}a\sqrt{2}}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}.\dfrac{{{a}^{2}}x}{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{4}}}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}.$
Xét hàm $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$, ta có $\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{max}} f\left( x \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{16a}$ khi $x=a\sqrt{3}.$
Suy ra thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng ${{V}_{\max }}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
Đáp án C.