Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $A',B',C',D'$ lần lượt là điểm đối xứng của $A,B,C,D$ qua các mặt phẳng $\left( BCD \right),\left( ACD \right),\left( ABD \right),\left( ABC \right).$ Tính thể tích của khối tứ diện $A'B'C'D'.$
A. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$
C. $\dfrac{16\sqrt{2}}{81}$
D. $\dfrac{125\sqrt{2}}{324}$
A. $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$
C. $\dfrac{16\sqrt{2}}{81}$
D. $\dfrac{125\sqrt{2}}{324}$
Phương pháp:
- Tứ diện $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{A'B'}{AB}.$
- Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD,$ gọi $G=AM\cap BN.$ Tính $\dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{A'B'}{AB}.$
- Tính $\dfrac{{{V}_{A'B'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}={{k}^{3}}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Cách giải:
Dễ dàng nhận thấy tứ diện $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{A'B'}{AB}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD$ ta có $AM\bot \left( BCD \right),BN\bot \left( ACD \right).$ Gọi $G=AM\cap BN.$
Ta có $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ nên $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow \dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{5}{3}.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{5}{3}=k$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A'B'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}={{k}^{3}}=\dfrac{125}{27}.$
Mà $ABCD$ là tứ diện đều cạnh 1 nên ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.$
Vậy ${{V}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{125}{37}.\dfrac{\sqrt{2}}{12}=\dfrac{125\sqrt{2}}{324}.$
- Tứ diện $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{A'B'}{AB}.$
- Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD,$ gọi $G=AM\cap BN.$ Tính $\dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{A'B'}{AB}.$
- Tính $\dfrac{{{V}_{A'B'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}={{k}^{3}}.$
- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$ là $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
Cách giải:
Dễ dàng nhận thấy tứ diện $A'B'C'D'$ đồng dạng với tứ diện $ABCD$ theo tỉ số $k=\dfrac{A'B'}{AB}.$
Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD,ACD$ ta có $AM\bot \left( BCD \right),BN\bot \left( ACD \right).$ Gọi $G=AM\cap BN.$
Ta có $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$ nên $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow \dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{3}{8}\Rightarrow \dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{5}{3}.$
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{GA'}{GA}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{5}{3}=k$.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{A'B'C'D'}}}{{{V}_{ABCD}}}={{k}^{3}}=\dfrac{125}{27}.$
Mà $ABCD$ là tứ diện đều cạnh 1 nên ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}.$
Vậy ${{V}_{A'B'C'D'}}=\dfrac{125}{37}.\dfrac{\sqrt{2}}{12}=\dfrac{125\sqrt{2}}{324}.$
Đáp án D.