Google
Câu hỏi: Cho hình tứ diện $ABCD$ có $AD\bot \left( ABC \right),$ $ABC$ là tam giác vuông tại $B.$ Biết $BC=3a,$ $AB=4a\sqrt{3},$ $AD=6a.$ Quay tam giác $ABC$ và $ABD$ (bao gồm tất cả các điểm bên trong của hai tam giác đó) xung quanh đường thẳng $AB$ ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó bằng
A. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{25\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{14\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
Khi quay tam giác $ABC$ và $ABD$ (bao gồm tất cả các điểm bên trong của hai tam giác đó) xung quanh đường thẳng $AB$ ta được hai khối nón tròn xoay có cùng chiều cao $AB$ nên hai đáy của hai hình nón nằm trên hai mặt phẳng song song
Khi đó phần chung của hai hình nón trên là hai hình nón:
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh $A,$ đường cao $OA$ và bán kính đáy $r=OI.$
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có đỉnh $B,$ đường cao $OB$ và bán kính đáy $r=OI.$
Do đó Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó là $V={{V}_{\left( {{N}_{1}} \right)}}+{{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi O{{I}^{2}}AB.$
Mặt khác do $IK\text{//}DF\text{//}EC$ nên $\dfrac{IK}{DF}=\dfrac{BO}{BA}$ và $\dfrac{IK}{EC}=\dfrac{AO}{AB}$
$\Rightarrow \dfrac{IK}{DF}+\dfrac{IK}{EC}=\dfrac{BO}{BA}+\dfrac{AO}{AB}=1$ $\Leftrightarrow IK\left( \dfrac{1}{2AD}+\dfrac{1}{2BC} \right)=1\Leftrightarrow IK=4a\Rightarrow OI=2a.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{I}^{2}}.AB=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}.4a\sqrt{3}=\dfrac{16\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $\dfrac{16\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
C. $\dfrac{25\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{14\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}.$
Khi đó phần chung của hai hình nón trên là hai hình nón:
Hình nón $\left( {{N}_{1}} \right)$ có đỉnh $A,$ đường cao $OA$ và bán kính đáy $r=OI.$
Hình nón $\left( {{N}_{2}} \right)$ có đỉnh $B,$ đường cao $OB$ và bán kính đáy $r=OI.$
Do đó Thể tích phần chung của hai khối tròn xoay đó là $V={{V}_{\left( {{N}_{1}} \right)}}+{{V}_{\left( {{N}_{2}} \right)}}=\dfrac{1}{3}\pi O{{I}^{2}}AB.$
Mặt khác do $IK\text{//}DF\text{//}EC$ nên $\dfrac{IK}{DF}=\dfrac{BO}{BA}$ và $\dfrac{IK}{EC}=\dfrac{AO}{AB}$
$\Rightarrow \dfrac{IK}{DF}+\dfrac{IK}{EC}=\dfrac{BO}{BA}+\dfrac{AO}{AB}=1$ $\Leftrightarrow IK\left( \dfrac{1}{2AD}+\dfrac{1}{2BC} \right)=1\Leftrightarrow IK=4a\Rightarrow OI=2a.$
Vậy $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{I}^{2}}.AB=\dfrac{1}{3}\pi .{{\left( 2a \right)}^{2}}.4a\sqrt{3}=\dfrac{16\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.