Google
Câu hỏi: Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 2a. Hai đường tròn đáy của (T) có tâm lần lượt là O và O1 và bán kính bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy O1 lấy điểm B sao cho $AB=\sqrt{5}a$. Thể tích khối tứ diện OO1AB bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Trên (O) lấy điểm B', trên (O1) lấy điểm A' sao cho $A{A}'//B{B}'//O{{O}_{1}}$. Khi đó ta được hình lăng trụ $OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B$. Dựa vào hình lăng trụ vừa dựng được, phân chia các khối đa diện và tính thể tích OO1AB.
Trên (O) lấy điểm B', trên (O1) lấy điểm A' sao cho $A{A}'//B{B}'//O{{O}_{1}}$. Khi đó ta được hình lăng trụ $OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B$.
Ta có $A{A}'=h=2a, AB=a\sqrt{5}$
Xét tam giác vuông AA ' B có
${A}'B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a$
Do đó tam giác ${{O}_{1}}{A}'B$ có ${{O}_{1}}{A}'={{O}_{1}}B={A}'B=a\Rightarrow \Delta {{O}_{1}}{A}'B$ đều cạnh a
$\Rightarrow {{S}_{\Delta {{O}_{1}}{A}'B}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}=A{A}'.{{S}_{\Delta {{O}_{1}}{A}'B}}=2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Ta có ${{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}={{V}_{A.{{O}_{1}}{A}'B}}={{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}+{{V}_{B.{{O}_{1}}AB'}}+{{V}_{O{{O}_{1}}AB}}$
Mà ${{V}_{A.{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}$ ; ${{V}_{B.{{O}_{1}}AB'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}$
$\Rightarrow {{V}_{O{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{12}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Trên (O) lấy điểm B', trên (O1) lấy điểm A' sao cho $A{A}'//B{B}'//O{{O}_{1}}$. Khi đó ta được hình lăng trụ $OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B$. Dựa vào hình lăng trụ vừa dựng được, phân chia các khối đa diện và tính thể tích OO1AB.
Trên (O) lấy điểm B', trên (O1) lấy điểm A' sao cho $A{A}'//B{B}'//O{{O}_{1}}$. Khi đó ta được hình lăng trụ $OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B$.
Ta có $A{A}'=h=2a, AB=a\sqrt{5}$
Xét tam giác vuông AA ' B có
${A}'B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a$
Do đó tam giác ${{O}_{1}}{A}'B$ có ${{O}_{1}}{A}'={{O}_{1}}B={A}'B=a\Rightarrow \Delta {{O}_{1}}{A}'B$ đều cạnh a
$\Rightarrow {{S}_{\Delta {{O}_{1}}{A}'B}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
$\Rightarrow {{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}=A{A}'.{{S}_{\Delta {{O}_{1}}{A}'B}}=2a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$
Ta có ${{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}={{V}_{A.{{O}_{1}}{A}'B}}={{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}+{{V}_{B.{{O}_{1}}AB'}}+{{V}_{O{{O}_{1}}AB}}$
Mà ${{V}_{A.{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}$ ; ${{V}_{B.{{O}_{1}}AB'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}$
$\Rightarrow {{V}_{O{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OA{B}'.{{O}_{1}}{A}'B}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
Đáp án C.