Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và

(O^{'}) .

Gọi

A A^{'}

và

B B^{'}

là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp

M . A A^{'} B^{'} B

bằng bao nhiêu?
A.

\frac{R^{3} \sqrt{3}}{4} .

B.

\frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} .

C.

\frac{3 R^{3} \sqrt{3}}{4} .

D.

\frac{R^{3} \sqrt{3}}{3} .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB

\Rightarrow M H ⊥ (A A^{'} B^{'} B) .

Khi đó:

V_{M . A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . S_{A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . A B . A A^{'} = \frac{R}{3} M H . A B .

Vậy để

{(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{max} \Leftrightarrow {(M H . A B)}_{max} .

Khi AB cố định thì

{(M H . A B)}_{max} \Leftrightarrow M H_{max} \Leftrightarrow

M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra

O \in M H \Rightarrow

H là trung điểm của AB.
Đặt

O H = x \Rightarrow {\begin{aligned} M H = M O + O H = R + x \\ A B = 2 H B = 2 \sqrt{O B^{2} - O H^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} \end{aligned} .

Suy ra:

M H . A B = (R + x) .2 \sqrt{R^{2} - x^{2}}

\Leftrightarrow {(M H . A B)}^{2} = 4 {(R + x)}^{2} . (R^{2} - x^{2})

= \frac{4}{3} (R + x) (R + x) (R + x) . (3 R - 3 x)

\leq \frac{4}{3} {(\frac{(R + x) + (R + x) + (R + x) + (3 R - 3 x)}{4})}^{4} = \frac{27 R^{4}}{4} .

Dấu "=" xảy ra khi:

R + x = 3 R - 3 x \Leftrightarrow x = \frac{R}{2} .

Suy ra

M H . A B \leq \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} \Rightarrow V_{M . A A^{'} B^{'} B} \leq \frac{R}{3} . \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow {(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{max} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} .

Đáp án B.