Google
Câu hỏi: Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và $({O}').$ Gọi $A{A}'$ và $B{B}'$ là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp $M.A{A}'{B}'B$ bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{3{{R}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow MH\bot \left( A{A}'{B}'B \right).$
Khi đó: ${{V}_{M.A{A}'{B}'B}}=\dfrac{1}{3}MH.{{S}_{A{A}'{B}'B}}=\dfrac{1}{3}MH.AB.A{A}'=\dfrac{R}{3}MH.AB.$
Vậy để ${{\left( {{V}_{M.A{A}'{B}'B}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( MH.AB \right)}_{\max }}.$
Khi AB cố định thì ${{\left( MH.AB \right)}_{\max }}\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}\Leftrightarrow $ M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O\in MH\Rightarrow $ H là trung điểm của AB.
Đặt $OH=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MH=MO+OH=R+x \\
& AB=2HB=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra: $MH.AB=\left( R+x \right).2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( MH.AB \right)}^{2}}=4{{\left( R+x \right)}^{2}}.({{R}^{2}}-{{x}^{2}})$
$=\dfrac{4}{3}\left( R+x \right)\left( R+x \right)\left( R+x \right).\left( 3R-3x \right)$
$\le \dfrac{4}{3}{{\left( \dfrac{\left( R+x \right)+\left( R+x \right)+\left( R+x \right)+\left( 3R-3x \right)}{4} \right)}^{4}}=\dfrac{27{{R}^{4}}}{4}.$
Dấu "=" xảy ra khi: $R+x=3R-3x\Leftrightarrow x=\dfrac{R}{2}.$
Suy ra $MH.AB\le \dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}\Rightarrow {{V}_{M.A{A}'{B}'B}}\le \dfrac{R}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{\left( {{V}_{M.A{A}'{B}'B}} \right)}_{\max }}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
A. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
B. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{3{{R}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow MH\bot \left( A{A}'{B}'B \right).$
Khi đó: ${{V}_{M.A{A}'{B}'B}}=\dfrac{1}{3}MH.{{S}_{A{A}'{B}'B}}=\dfrac{1}{3}MH.AB.A{A}'=\dfrac{R}{3}MH.AB.$
Vậy để ${{\left( {{V}_{M.A{A}'{B}'B}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left( MH.AB \right)}_{\max }}.$
Khi AB cố định thì ${{\left( MH.AB \right)}_{\max }}\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}\Leftrightarrow $ M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O\in MH\Rightarrow $ H là trung điểm của AB.
Đặt $OH=x\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& MH=MO+OH=R+x \\
& AB=2HB=2\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra: $MH.AB=\left( R+x \right).2\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( MH.AB \right)}^{2}}=4{{\left( R+x \right)}^{2}}.({{R}^{2}}-{{x}^{2}})$
$=\dfrac{4}{3}\left( R+x \right)\left( R+x \right)\left( R+x \right).\left( 3R-3x \right)$
$\le \dfrac{4}{3}{{\left( \dfrac{\left( R+x \right)+\left( R+x \right)+\left( R+x \right)+\left( 3R-3x \right)}{4} \right)}^{4}}=\dfrac{27{{R}^{4}}}{4}.$
Dấu "=" xảy ra khi: $R+x=3R-3x\Leftrightarrow x=\dfrac{R}{2}.$
Suy ra $MH.AB\le \dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}\Rightarrow {{V}_{M.A{A}'{B}'B}}\le \dfrac{R}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow {{\left( {{V}_{M.A{A}'{B}'B}} \right)}_{\max }}=\dfrac{{{R}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
Đáp án B.