Google
Câu hỏi: Cho hình trụ $\left( T \right)$ có $O$, ${O}'$ lần lượt là tâm hai đường tròn đáy. Tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, $AB=2a$, $\sin \widehat{ACB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ và $O{O}'$ tạo với mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ một góc ${{30}^{{}^\circ }}$. Thể tích khối trụ $\left( T \right)$ bằng
A. $3\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
D. $2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Ta có $\dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=2R\Rightarrow R=\dfrac{AB}{2\sin \widehat{ACB}}=a\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $IA=1\Rightarrow OI=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Mặt khác $\left( \widehat{O{O}',\left( {O}'AB \right)} \right)=\left( \widehat{O{O}',{O}'I} \right)=\widehat{O{O}'I}={{30}^{{}^\circ }}$ suy ra $\tan \widehat{O{O}'I}=\dfrac{OI}{O{O}'}\Rightarrow O{O}'=\dfrac{OI}{\tan {{30}^{{}^\circ }}}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối trụ $\left( T \right)$ bằng $V=\pi {{R}^{2}}.O{O}'=3\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
A. $3\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{3}$.
C. $\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
D. $2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên $IA=1\Rightarrow OI=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{A}^{2}}}=a\sqrt{2}$.
Mặt khác $\left( \widehat{O{O}',\left( {O}'AB \right)} \right)=\left( \widehat{O{O}',{O}'I} \right)=\widehat{O{O}'I}={{30}^{{}^\circ }}$ suy ra $\tan \widehat{O{O}'I}=\dfrac{OI}{O{O}'}\Rightarrow O{O}'=\dfrac{OI}{\tan {{30}^{{}^\circ }}}=a\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối trụ $\left( T \right)$ bằng $V=\pi {{R}^{2}}.O{O}'=3\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Đáp án A.