Cho hình trụ $(T)$ có hai đường tròn đáy $\left( O...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hình trụ

(T)

có hai đường tròn đáy

(O)

và

(O^{'})

. Một hình vuông

A B C D

nội tiếp trong hình trụ (trong đó các điểm

A, B \in (O); C, D \in (O^{'})

. Biết hình vuông

A B C D

có diện tích bằng

400 c m^{2}

. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ

(T)

.
A.

V_{max} = \frac{8000 \sqrt{6}}{3} π

.
B.

V_{max} = \frac{8000 \sqrt{3}}{9} π

.
C.

V_{max} = \frac{8000 \sqrt{6}}{9} π

.
D.

V_{max} = \frac{8000 \sqrt{6}}{3} π

.

Gọi

H

là hình chiếu của

B

trên

(O^{'})

. Ta có

{\begin{aligned} C D ⊥ D B \\ C D ⊥ B H \end{aligned} \Rightarrow C D ⊥ (B H D) \Rightarrow C D ⊥ D H

.
Gọi bán kính đường tròn đáy là

R \Rightarrow C H = 2 R \Rightarrow D H = \sqrt{4 R^{2} - 400}

.
Do đó

B H = \sqrt{B D^{2} - D H^{2}} = \sqrt{800 - 4 R^{2}}

. Vậy thể tích của khối trụ là

V = π R^{2} \sqrt{800 - 4 R^{2}}

.
Xét hàm số

f (t) = t \sqrt{800 - 4 t}

, có

f^{'} (t) = \frac{400 - 3 t}{\sqrt{200 - t}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{400}{3}

.
Suy ra

max f (t) = f (\frac{400}{3})

. Với

t = R^{2} \Rightarrow R^{2} = \frac{400}{3} \Rightarrow R = \frac{20}{\sqrt{3}} \Rightarrow V_{max} = \frac{8000 \sqrt{6}}{9} π

.

Đáp án C.

Cho hình trụ (T) có hai đường tròn đáy $\left( O...