Google
Câu hỏi: Cho hình trụ $\left( T \right)$ có hai đường tròn đáy $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right)$. Một hình vuông $ABCD$ nội tiếp trong hình trụ (trong đó các điểm $A,B\in \left( O \right);C,D\in \left( {{O}'} \right)$. Biết hình vuông $ABCD$ có diện tích bằng $400c{{m}^{2}}$. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ $\left( T \right)$.
A. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{3}\pi $.
B. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{3}}{9}\pi $.
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{9}\pi $.
D. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{3}\pi $.
A. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{3}\pi $.
B. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{3}}{9}\pi $.
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{9}\pi $.
D. ${{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{3}\pi $.
Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $\left( {{O}'} \right)$. Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot DB \\
& CD\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( BHD \right)\Rightarrow CD\bot DH$.
Gọi bán kính đường tròn đáy là $R\Rightarrow CH=2R\Rightarrow DH=\sqrt{4{{R}^{2}}-400}$.
Do đó $BH=\sqrt{B{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{800-4{{R}^{2}}}$. Vậy thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}\sqrt{800-4{{R}^{2}}}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t\sqrt{800-4t}$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{400-3t}{\sqrt{200-t}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{400}{3}$.
Suy ra $\max f\left( t \right)=f\left( \dfrac{400}{3} \right)$. Với $t={{R}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{400}{3}\Rightarrow R=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{9}\pi $.
& CD\bot DB \\
& CD\bot BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( BHD \right)\Rightarrow CD\bot DH$.
Gọi bán kính đường tròn đáy là $R\Rightarrow CH=2R\Rightarrow DH=\sqrt{4{{R}^{2}}-400}$.
Do đó $BH=\sqrt{B{{D}^{2}}-D{{H}^{2}}}=\sqrt{800-4{{R}^{2}}}$. Vậy thể tích của khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}\sqrt{800-4{{R}^{2}}}$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=t\sqrt{800-4t}$, có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{400-3t}{\sqrt{200-t}};{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{400}{3}$.
Suy ra $\max f\left( t \right)=f\left( \dfrac{400}{3} \right)$. Với $t={{R}^{2}}\Rightarrow {{R}^{2}}=\dfrac{400}{3}\Rightarrow R=\dfrac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow {{V}_{\max }}=\dfrac{8000\sqrt{6}}{9}\pi $.
Đáp án C.