Google
Câu hỏi: Cho hình trụ ${\left( T \right)}$ có đáy là các đường tròn tâm ${O}$ và ${{O}'}$, bán kính bằng ${1}$, chiều cao hình trụ bằng ${2}$. Các điểm ${A}$, ${B}$ lần lượt nằm trên hai đường tròn ${\left( O \right)}$ và ${\left( {{O}'} \right)}$ sao cho góc góc giữa hai đường thẳng ${OA,{O}'B}$ bằng ${{{60}^{0}}}$. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ${OA{O}'B}$.
A. ${S=\dfrac{3+\sqrt{19}}{2}}$.
B. ${S=\dfrac{4+\sqrt{19}}{2}}$.
C. ${S=\dfrac{1+2\sqrt{19}}{2}}$.
D. ${S=\dfrac{4+\sqrt{19}}{4}.}$
Ta có diện tích toàn phần $OA\text{O}'={{S}_{OO'A}}+{{S}_{OO'B}}+{{S}_{OAB}}+{{S}_{O'AB}}$
Ta có tam giác $\Delta 00'A$ vuông tại O $\Rightarrow {{S}_{OO'A}}=\dfrac{1}{2}OO'.OA=\dfrac{1}{2}2.1=1$
Ta có tam giác $\Delta 00'B$ vuông tại $0'$ $\Rightarrow {{S}_{\text{OO}'A}}=\dfrac{1}{2}OO'.O'B=\dfrac{1}{2}2.1$
Kẻ $OA//O'A'\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& AA'\bot A'B \\
& \widehat{A'O'B}={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right. $ xét tam giác$ \Delta AA' $ vuông tại$ A'$ ta có
$AB=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$ $$
- Xét tam giác $\Delta OO'$ vuông tại $O'$ ta có:
$OB=\sqrt{OO{{'}^{2}}+O'{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$
Do $\Delta O'AB=\Delta OAB\Rightarrow {{S}_{O'AB}}={{S}_{OAB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
sử dụng công thức Herong áp dụng cho tam giác ${{S}_{O'AB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
Do $\Delta O'AB=\Delta OAB\Rightarrow \text{ }{{S}_{O'AB}}={{S}_{OAB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
Khi đó diện tích toàn phần $OAO'B\text{ }=\text{ }{{\text{S}}_{\text{OO }\!\!'\!\!\text{ }A}}+{{S}_{OO'B}}\text{ }+\text{ }{{S}_{OAB}}+\text{ }{{S}_{O'AB}}=1+1+\frac{\sqrt{19}}{4}+\frac{\sqrt{19}}{4}=\frac{3+\sqrt{19}}{2}$
A. ${S=\dfrac{3+\sqrt{19}}{2}}$.
B. ${S=\dfrac{4+\sqrt{19}}{2}}$.
C. ${S=\dfrac{1+2\sqrt{19}}{2}}$.
D. ${S=\dfrac{4+\sqrt{19}}{4}.}$
Ta có diện tích toàn phần $OA\text{O}'={{S}_{OO'A}}+{{S}_{OO'B}}+{{S}_{OAB}}+{{S}_{O'AB}}$
Ta có tam giác $\Delta 00'A$ vuông tại O $\Rightarrow {{S}_{OO'A}}=\dfrac{1}{2}OO'.OA=\dfrac{1}{2}2.1=1$
Ta có tam giác $\Delta 00'B$ vuông tại $0'$ $\Rightarrow {{S}_{\text{OO}'A}}=\dfrac{1}{2}OO'.O'B=\dfrac{1}{2}2.1$
Kẻ $OA//O'A'\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& AA'\bot A'B \\
& \widehat{A'O'B}={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right. $ xét tam giác$ \Delta AA' $ vuông tại$ A'$ ta có
$AB=\sqrt{AA{{'}^{2}}+A'{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$ $$
- Xét tam giác $\Delta OO'$ vuông tại $O'$ ta có:
$OB=\sqrt{OO{{'}^{2}}+O'{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{5}$
Do $\Delta O'AB=\Delta OAB\Rightarrow {{S}_{O'AB}}={{S}_{OAB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
sử dụng công thức Herong áp dụng cho tam giác ${{S}_{O'AB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
Do $\Delta O'AB=\Delta OAB\Rightarrow \text{ }{{S}_{O'AB}}={{S}_{OAB}}=\frac{\sqrt{19}}{4}$
Khi đó diện tích toàn phần $OAO'B\text{ }=\text{ }{{\text{S}}_{\text{OO }\!\!'\!\!\text{ }A}}+{{S}_{OO'B}}\text{ }+\text{ }{{S}_{OAB}}+\text{ }{{S}_{O'AB}}=1+1+\frac{\sqrt{19}}{4}+\frac{\sqrt{19}}{4}=\frac{3+\sqrt{19}}{2}$
Đáp án B.