Google
Câu hỏi: Cho hình trụ $\left( T \right)$ có chiều cao $h=2$, bán kính đáy $r=3$. Giả sử $\left( L \right)$ là hình lăng trụ đều n cạnh có hai đáy là đa giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ $\left( T \right)$. Khi n tăng lên vô hạn thì tổng diện tích tất cả các mặt của của khối lăng trụ $\left( L \right)$ có giới hạn là:
A. 12.
B. $20\pi $.
C. $30\pi $.
D. $12\pi $.
A. 12.
B. $20\pi $.
C. $30\pi $.
D. $12\pi $.
Vì $\left( L \right)$ là hình lăng trụ đều n cạnh có hai đáy là đa giác đều nội tiếp đường tròn đáy của hình trụ $\left( T \right)$ nên độ dài mỗi cạnh của lăng trụ là $a=2r.\sin \dfrac{\pi }{n}$.
Do đó diện tích của n mặt bên là ${{S}_{1}}=n.a.h=2.n.r.h.\sin \dfrac{\pi }{n}=12n.\sin \dfrac{\pi }{n}$.
Công thức diện tích của đa giác đều n cạnh, có độ dài mỗi cạnh là a là $s=\dfrac{n.{{r}^{2}}.\dfrac{2\pi }{n}}{2}$.
Nên diện tích cảu hai đáy là ${{S}_{2}}=2.s=9n.\sin \dfrac{2\pi }{n}$
Tổng diện tích tất cả các mặt của khối lăng trụ $\left( L \right)$ là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=12n.\sin \dfrac{\pi }{n}+9n.\sin \dfrac{2\pi }{n}$
Khi n tăng lên vô hạn ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 12n.\sin \dfrac{\pi }{n}+9n.\sin \dfrac{2\pi }{n} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 12n.\sin \dfrac{\pi }{n} \right)+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 9n.\sin \dfrac{2\pi }{n} \right)=30\pi $.
Lưu ý: Khi n tăng lên vô hạn thì hình lăng trụ biến dần về hình trụ. Lúc đó tổng diện tích cần tìm chính là diện tích toàn phần của hình trụ ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=30\pi $.
Do đó diện tích của n mặt bên là ${{S}_{1}}=n.a.h=2.n.r.h.\sin \dfrac{\pi }{n}=12n.\sin \dfrac{\pi }{n}$.
Công thức diện tích của đa giác đều n cạnh, có độ dài mỗi cạnh là a là $s=\dfrac{n.{{r}^{2}}.\dfrac{2\pi }{n}}{2}$.
Nên diện tích cảu hai đáy là ${{S}_{2}}=2.s=9n.\sin \dfrac{2\pi }{n}$
Tổng diện tích tất cả các mặt của khối lăng trụ $\left( L \right)$ là $S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=12n.\sin \dfrac{\pi }{n}+9n.\sin \dfrac{2\pi }{n}$
Khi n tăng lên vô hạn ta có
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 12n.\sin \dfrac{\pi }{n}+9n.\sin \dfrac{2\pi }{n} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 12n.\sin \dfrac{\pi }{n} \right)+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \left( 9n.\sin \dfrac{2\pi }{n} \right)=30\pi $.
Lưu ý: Khi n tăng lên vô hạn thì hình lăng trụ biến dần về hình trụ. Lúc đó tổng diện tích cần tìm chính là diện tích toàn phần của hình trụ ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+2{{S}_{d}}=2\pi rh+2\pi {{r}^{2}}=30\pi $.
Đáp án C.