Google
Câu hỏi: Cho hình trụ $\left( T \right)$ có chiều cao bằng $2a$, hai đường tròn đáy của $\left( T \right)$ có tâm lần lượt là $O$ và ${{O}_{1}}$, bán kính bằng $a$. Trên đường tròn đáy tâm $O$ lấy điểm $A$, trên đường tròn đáy tâm ${{O}_{1}}$ lấy điểm $B$ sao cho $AB=a\sqrt{5}.$ Thể tích khối tứ diện $O{{O}_{1}}AB$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Dựng đường sinh $\text{A}{{\text{A}}_{1}}$
Ta có $O{{O}_{1}}=2a$, ${{A}_{1}}B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{A}_{1}}^{2}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a$.
Do đó tam giác ${{O}_{1}}{{A}_{1}}B$ là tam giác đều $\Rightarrow \left( {{O}_{1}}{{A}_{1}},{{O}_{1}}B \right)={{60}^{0}}\Rightarrow \left( OA,{{O}_{1}}B \right)={{60}^{0}}$.
Khi đó ${{V}_{O{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{6}OA.{{O}_{1}}B.d\left( OA,{{O}_{1}}B \right).\sin \left( OA,{{O}_{1}}B \right)$ $=\dfrac{1}{6}a.a.2a.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Ta có $O{{O}_{1}}=2a$, ${{A}_{1}}B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{A}_{1}}^{2}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=a$.
Do đó tam giác ${{O}_{1}}{{A}_{1}}B$ là tam giác đều $\Rightarrow \left( {{O}_{1}}{{A}_{1}},{{O}_{1}}B \right)={{60}^{0}}\Rightarrow \left( OA,{{O}_{1}}B \right)={{60}^{0}}$.
Khi đó ${{V}_{O{{O}_{1}}AB}}=\dfrac{1}{6}OA.{{O}_{1}}B.d\left( OA,{{O}_{1}}B \right).\sin \left( OA,{{O}_{1}}B \right)$ $=\dfrac{1}{6}a.a.2a.\sin 60{}^\circ =\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
Đáp án D.