Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là $O$ và $\left( {{O}'} \right)$ ; bán kính đáy hình trụ bằng $a$. Trên hai đường tròn $(O)$ và $\left( {{O}'} \right)$ lần lượt lấy hai điểm $A$ và $B$ sao cho đường thằng AB tạo với trục của hình trụ một góc $30{}^\circ $ và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng $\dfrac{a \sqrt{3}}{2}$.
Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. $\dfrac{\pi a^{2}}{3}(\sqrt{3}+2)$.
B. $\pi a^{2}(\sqrt{3}+2)$.
C. $2 \pi a^{2}(\sqrt{3}+1)$.
D. $\dfrac{2 \pi a^{2}}{3}(\sqrt{3}+3)$.
Kẻ các đường sinh $A{B}'$, ${A}'B$ thì $A{B}'\text{//}O{O}'\text{//}{A}'B$.
Ta có $d\left( O{O}';AB \right)=d\left( O{O}';\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=d\left( O;\left( A{A}'B{B}' \right) \right)$
Kẻ $OH\bot A{A}'$ tại $H \Rightarrow H$ là trung điểm của $A{A}'$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
OH\bot A{A}' \\
{A}'B\bot OH \\
\end{array}\Rightarrow OH\bot \left( A{A}'B{B}' \right) \right.$
$\Rightarrow d\left( O;\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Lại có AB tạo với trục hình trụ góc $30{}^\circ $ mà $O{O}'\text{//}{A}'B\Rightarrow {A}'BA=30{}^\circ $
Xét tam giác $AB{A}'$ vuông tại ${A}'$ có ${A}'B=A{A}'.\cot 30{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:
${{S}_{tp}}=2\pi rl+2\pi {{r}^{2}}=2\pi .a.a\sqrt{3}+2\pi {{a}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}(\sqrt{3}+1)$.
Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A. $\dfrac{\pi a^{2}}{3}(\sqrt{3}+2)$.
B. $\pi a^{2}(\sqrt{3}+2)$.
C. $2 \pi a^{2}(\sqrt{3}+1)$.
D. $\dfrac{2 \pi a^{2}}{3}(\sqrt{3}+3)$.
Kẻ các đường sinh $A{B}'$, ${A}'B$ thì $A{B}'\text{//}O{O}'\text{//}{A}'B$.
Ta có $d\left( O{O}';AB \right)=d\left( O{O}';\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=d\left( O;\left( A{A}'B{B}' \right) \right)$
Kẻ $OH\bot A{A}'$ tại $H \Rightarrow H$ là trung điểm của $A{A}'$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
OH\bot A{A}' \\
{A}'B\bot OH \\
\end{array}\Rightarrow OH\bot \left( A{A}'B{B}' \right) \right.$
$\Rightarrow d\left( O;\left( A{A}'B{B}' \right) \right)=OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Lại có AB tạo với trục hình trụ góc $30{}^\circ $ mà $O{O}'\text{//}{A}'B\Rightarrow {A}'BA=30{}^\circ $
Xét tam giác $AB{A}'$ vuông tại ${A}'$ có ${A}'B=A{A}'.\cot 30{}^\circ =a\sqrt{3}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:
${{S}_{tp}}=2\pi rl+2\pi {{r}^{2}}=2\pi .a.a\sqrt{3}+2\pi {{a}^{2}}=2\pi {{a}^{2}}(\sqrt{3}+1)$.
Đáp án C.