Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là $O$ và $\left( {{O}'}...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là

O

và

(O^{'})

; bán kính đáy hình trụ bằng

a

. Trên hai đường tròn

(O)

và

(O^{'})

lần lượt lấy hai điểm

A

và

B

sao cho đường thằng AB tạo với trục của hình trụ một góc

30^{\circ}

và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng

\frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã cho.
A.

\frac{π a^{2}}{3} (\sqrt{3} + 2)

.
B.

π a^{2} (\sqrt{3} + 2)

.
C.

2 π a^{2} (\sqrt{3} + 1)

.
D.

\frac{2 π a^{2}}{3} (\sqrt{3} + 3)

.

Kẻ các đường sinh

A B^{'}

,

A^{'} B

thì

A B^{'} // O O^{'} // A^{'} B

.
Ta có

d (O O^{'}; A B) = d (O O^{'}; (A A^{'} B B^{'})) = d (O; (A A^{'} B B^{'}))

Kẻ

O H ⊥ A A^{'}

tại

H \Rightarrow H

là trung điểm của

A A^{'}

.
Ta có

{\begin{cases} O H ⊥ A A^{'} \\ A^{'} B ⊥ O H \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (A A^{'} B B^{'})

\Rightarrow d (O; (A A^{'} B B^{'})) = O H = \frac{a \sqrt{3}}{2}

Lại có AB tạo với trục hình trụ góc

30^{\circ}

mà

O O^{'} // A^{'} B \Rightarrow A^{'} B A = 30^{\circ}

Xét tam giác

A B A^{'}

vuông tại

A^{'}

có

A^{'} B = A A^{'} . \cot 30^{\circ} = a \sqrt{3}

.
Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là:

S_{t p} = 2 π r l + 2 π r^{2} = 2 π . a . a \sqrt{3} + 2 π a^{2} = 2 π a^{2} (\sqrt{3} + 1)

.

Đáp án C.

Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là O và $\left( {{O}'}...