Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và $\left( {O}';R \right)$. AB là một dây cung của đường tròn (O; R) sao cho tam giác ${O}'AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $\left( {O}'AB \right)$ tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) một góc $60{}^\circ $. Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
B. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}.$
C. $V=\dfrac{\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}.$
D. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
Gọi M là trung điểm$AB\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& O{O}'\bot AB \\
& OM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( O{O}'M \right)$
Do đó $\widehat{\left( {O}'AB \right);\left( OAB \right)=}\widehat{\left( {O}'M;OM \right)}=\widehat{{O}'MO}=60{}^\circ $
Đặt $O{O}'=h\Rightarrow {O}'B=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}\Rightarrow {O}'M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}$
Tam giác ${O}'OM$ vuông tại O, có $\sin 60{}^\circ =\dfrac{O{O}'}{{O}'M}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}}\Leftrightarrow 9\left( {{h}^{2}}+{{R}^{2}} \right)=16{{h}^{2}}\Leftrightarrow h=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R$
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{R}^{2}}.\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
A. $V=\dfrac{\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
B. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}.$
C. $V=\dfrac{\pi \sqrt{5}{{R}^{3}}}{5}.$
D. $V=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
Gọi M là trung điểm$AB\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& O{O}'\bot AB \\
& OM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( O{O}'M \right)$
Do đó $\widehat{\left( {O}'AB \right);\left( OAB \right)=}\widehat{\left( {O}'M;OM \right)}=\widehat{{O}'MO}=60{}^\circ $
Đặt $O{O}'=h\Rightarrow {O}'B=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}\Rightarrow {O}'M=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}$
Tam giác ${O}'OM$ vuông tại O, có $\sin 60{}^\circ =\dfrac{O{O}'}{{O}'M}$
$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}}\Leftrightarrow 9\left( {{h}^{2}}+{{R}^{2}} \right)=16{{h}^{2}}\Leftrightarrow h=\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R$
Vậy thể tích khối trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=\pi {{R}^{2}}.\dfrac{3\sqrt{7}}{7}R=\dfrac{3\pi \sqrt{7}{{R}^{3}}}{7}.$
Đáp án D.