Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và $\left( {O}';R...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R) và

(O^{'}; R)

. AB là một dây cung của đường tròn (O; R) sao cho tam giác

O^{'} A B

là tam giác đều và mặt phẳng

(O^{'} A B)

tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O; R) một góc

60^{\circ}

. Tính theo R thể tích V của khối trụ đã cho.
A.

V = \frac{π \sqrt{7} R^{3}}{7} .

B.

V = \frac{3 π \sqrt{5} R^{3}}{5} .

C.

V = \frac{π \sqrt{5} R^{3}}{5} .

D.

V = \frac{3 π \sqrt{7} R^{3}}{7} .

Gọi M là trung điểm

A B \Rightarrow {\begin{aligned} O O^{'} ⊥ A B \\ O M ⊥ A B \end{aligned} \Rightarrow A B ⊥ (O O^{'} M)

Do đó

\hat{(O^{'} A B); (O A B) =} \hat{(O^{'} M; O M)} = \hat{O^{'} M O} = 60^{\circ}

Đặt

O O^{'} = h \Rightarrow O^{'} B = \sqrt{h^{2} + R^{2}} \Rightarrow O^{'} M = \frac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{h^{2} + R^{2}}

Tam giác

O^{'} O M

vuông tại O, có

\sin 60^{\circ} = \frac{O O^{'}}{O^{'} M}

\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{h^{2} + R^{2}}} \Leftrightarrow 9 (h^{2} + R^{2}) = 16 h^{2} \Leftrightarrow h = \frac{3 \sqrt{7}}{7} R

Vậy thể tích khối trụ là

V = π R^{2} h = π R^{2} . \frac{3 \sqrt{7}}{7} R = \frac{3 π \sqrt{7} R^{3}}{7} .

Đáp án D.