Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right)$, thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông. Gọi $A$, $B$ là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn $\left( O \right)$ và $\left( {{O}'} \right)$. Biết $AB=2a$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $O{O}'$ bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Bán kính đáy của hình trụ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{14}}{3}$.
+) Dựng $AA'//OO'\left( A'\in \left( O \right) \right),$ gọi $I$ là trung điểm $A'B,R$ là bán kính đáy.
$\Rightarrow $ Khoảng cách giữa $AB$ và $OO'$ là $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
+) $IB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}\Rightarrow A'B=2IB=\sqrt{4{{R}^{2}}-3{{a}^{2}}}$
Thiết diện qua trục là hình vuông nên $AA'=2R$
Ta có: $AA{{'}^{2}}+A'{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4{{R}^{2}}+4{{R}^{2}}-3{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{14}}{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{14}}{4}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{14}}{3}$.
$\Rightarrow $ Khoảng cách giữa $AB$ và $OO'$ là $OI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
+) $IB=\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}\Rightarrow A'B=2IB=\sqrt{4{{R}^{2}}-3{{a}^{2}}}$
Thiết diện qua trục là hình vuông nên $AA'=2R$
Ta có: $AA{{'}^{2}}+A'{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 4{{R}^{2}}+4{{R}^{2}}-3{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}$
$\Rightarrow R=\dfrac{a\sqrt{14}}{4}.$
Đáp án C.