Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có hai đáy là các hình tròn (O),(O') bán kính bằng a, chiều cao hình trụ gấp hai lần bán kính đáy. Các điểm A, B tương ứng nằm trên hai đường tròn (O),(O') sao cho $AB=a\sqrt{6}.$ Tính thể tích khối tứ diện ABOO' theo a ?
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}.$
Kẻ đường sinh $A{A}'$, gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm ${O}'$ và H là hình chiếu của B trên A'D.
Ta có $BH\bot \left( AO{O}'{A}' \right)$ nên ${{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AOO'}}.BH.$
Trong tam giác vuông A'AB có ${A}'B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Trong tam giác vuông A'BD có $BD=\sqrt{{A}'{{D}^{2}}-{A}'{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Do đó suy ra tam giác BO'D vuông cân tại ${O}'$ nên $BH=B{O}'=a.$
Vậy ${{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{1}{2}.2a.a \right).a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}\left( dvtt \right).$
A. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}.$
C. $\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}.$
Kẻ đường sinh $A{A}'$, gọi D là điểm đối xứng với A' qua tâm ${O}'$ và H là hình chiếu của B trên A'D.
Ta có $BH\bot \left( AO{O}'{A}' \right)$ nên ${{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta AOO'}}.BH.$
Trong tam giác vuông A'AB có ${A}'B=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{{{A}'}}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Trong tam giác vuông A'BD có $BD=\sqrt{{A}'{{D}^{2}}-{A}'{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Do đó suy ra tam giác BO'D vuông cân tại ${O}'$ nên $BH=B{O}'=a.$
Vậy ${{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}.\left( \dfrac{1}{2}.2a.a \right).a=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}\left( dvtt \right).$
Đáp án A.