Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt $\alpha $ là góc giữa AB và đáy. Tính $\tan \alpha $ khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}.$
C. $\tan \alpha =1.$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}.$
Lấy điểm $A'\in \left( O' \right),B'\in \left( O \right)$ sao cho AA', BB' song song với trục OO'.
Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB'.O'A'B.
Ta có: $\begin{aligned}
& {{V}_{OO'AB}}={{V}_{OAB'.O'A'B}}-{{V}_{A.O'A'B}}-{{V}_{B.OAB'}} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{V}_{OAB'.O'A'B}}-\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}}-\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{OO'AB}}=\dfrac{1}{3}.AA'.{{S}_{\Delta OAB'}}=\dfrac{1}{6}.AA'.OA.OB.\sin \widehat{AOB'}=\dfrac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \widehat{AOB'} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{6}.8{{a}^{3}}.\sin \widehat{AOB'}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}\sin \widehat{AOB'} \\
\end{aligned}$
Do đó để ${{V}_{OO'AB}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sin \widehat{AOB'}=1\Leftrightarrow \widehat{AOB'}=90{}^\circ \Leftrightarrow OA\bot OB'$.
$\Rightarrow O'A'\bot O'B\Rightarrow \Delta O'A'B$ vuông tại $O'\Rightarrow A'B=\sqrt{2}O'A'=2a\sqrt{2}$.
Ta có: $AA'\bot \left( O'A'B \right)\Rightarrow \widehat{\left( AB,\left( O'A'B \right) \right)}=\widehat{ABA'}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{AA'}{A'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}.$
C. $\tan \alpha =1.$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}.$
Lấy điểm $A'\in \left( O' \right),B'\in \left( O \right)$ sao cho AA', BB' song song với trục OO'.
Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB'.O'A'B.
Ta có: $\begin{aligned}
& {{V}_{OO'AB}}={{V}_{OAB'.O'A'B}}-{{V}_{A.O'A'B}}-{{V}_{B.OAB'}} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={{V}_{OAB'.O'A'B}}-\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}}-\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{OAB'.O'A'B}} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow {{V}_{OO'AB}}=\dfrac{1}{3}.AA'.{{S}_{\Delta OAB'}}=\dfrac{1}{6}.AA'.OA.OB.\sin \widehat{AOB'}=\dfrac{1}{6}.2a.2a.2a.\sin \widehat{AOB'} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\dfrac{1}{6}.8{{a}^{3}}.\sin \widehat{AOB'}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}\sin \widehat{AOB'} \\
\end{aligned}$
Do đó để ${{V}_{OO'AB}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \sin \widehat{AOB'}=1\Leftrightarrow \widehat{AOB'}=90{}^\circ \Leftrightarrow OA\bot OB'$.
$\Rightarrow O'A'\bot O'B\Rightarrow \Delta O'A'B$ vuông tại $O'\Rightarrow A'B=\sqrt{2}O'A'=2a\sqrt{2}$.
Ta có: $AA'\bot \left( O'A'B \right)\Rightarrow \widehat{\left( AB,\left( O'A'B \right) \right)}=\widehat{ABA'}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{AA'}{A'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Đáp án A.