Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy có tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O' lấy điểm B. Đặt

α

là góc giữa AB và đáy. Tính

\tan α

khi thể tích khối tứ diện OO'AB đạt giá trị lớn nhất.
A.

\tan α = \frac{1}{\sqrt{2}} .

B.

\tan α = \frac{1}{2} .

C.

\tan α = 1.

D.

\tan α = \sqrt{2} .

Lấy điểm

A^{'} \in (O^{'}), B^{'} \in (O)

sao cho AA', BB' song song với trục OO'.
Khi đó ta có lăng trụ đứng OAB'.O'A'B.
Ta có:

\begin{aligned} V_{O O^{'} A B} = V_{O A B^{'} . O^{'} A^{'} B} - V_{A . O^{'} A^{'} B} - V_{B . O A B^{'}} \\ = V_{O A B^{'} . O^{'} A^{'} B} - \frac{1}{3} V_{O A B^{'} . O^{'} A^{'} B} - \frac{1}{3} V_{O A B^{'} . O^{'} A^{'} B} = \frac{1}{3} V_{O A B^{'} . O^{'} A^{'} B} \end{aligned}

\begin{aligned} \Rightarrow V_{O O^{'} A B} = \frac{1}{3} . A A^{'} . S_{Δ O A B^{'}} = \frac{1}{6} . A A^{'} . O A . O B . \sin \hat{A O B^{'}} = \frac{1}{6} .2 a .2 a .2 a . \sin \hat{A O B^{'}} \\ = \frac{1}{6} .8 a^{3} . \sin \hat{A O B^{'}} = \frac{4 a^{3}}{3} \sin \hat{A O B^{'}} \end{aligned}

Do đó để

V_{O O^{'} A B}

lớn nhất

\Leftrightarrow \sin \hat{A O B^{'}} = 1 \Leftrightarrow \hat{A O B^{'}} = 90^{\circ} \Leftrightarrow O A ⊥ O B^{'}

.

\Rightarrow O^{'} A^{'} ⊥ O^{'} B \Rightarrow Δ O^{'} A^{'} B

vuông tại

O^{'} \Rightarrow A^{'} B = \sqrt{2} O^{'} A^{'} = 2 a \sqrt{2}

.
Ta có:

A A^{'} ⊥ (O^{'} A^{'} B) \Rightarrow \hat{(A B, (O^{'} A^{'} B))} = \hat{A B A^{'}} = α \Rightarrow \tan α = \frac{A A^{'}}{A^{'} B} = \frac{2 a}{2 a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .

Đáp án A.

Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy...

Câu hỏi này có trong đề thi

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page