Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có chiều cao $8a$. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng $2a$ thì thiết diện thu được là một hình chữ nhật có diện tích bằng $48{{a}^{2}}$. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. $169\pi {{a}^{3}}$.
B. $52\pi {{a}^{3}}$.
C. $104\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{104\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Cắt hình trụ bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với trục của hình trụ có thiết diện là hình chữ nhật $ABCD$. Suy ra, $\left( P \right)$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra $OI\bot \left( P \right)$. Do đó, khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và trục của hình trụ bằng độ dài $OI$. Do đó, $OI=2a$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=AB.8a=48{{a}^{2}}\Rightarrow AB=6a\Rightarrow AI=3a$.
Xét tam giác vuông $OAI$ ta có: $OA=\sqrt{A{{I}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{13}$.
Vậy thể tích khối trụ bằng: $V=\pi {{R}^{2}}h$ $=\pi {{\left( a\sqrt{13} \right)}^{2}}8a=104\pi {{a}^{3}}$.
A. $169\pi {{a}^{3}}$.
B. $52\pi {{a}^{3}}$.
C. $104\pi {{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{104\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Ta có ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=AB.8a=48{{a}^{2}}\Rightarrow AB=6a\Rightarrow AI=3a$.
Xét tam giác vuông $OAI$ ta có: $OA=\sqrt{A{{I}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3a \right)}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{13}$.
Vậy thể tích khối trụ bằng: $V=\pi {{R}^{2}}h$ $=\pi {{\left( a\sqrt{13} \right)}^{2}}8a=104\pi {{a}^{3}}$.
Đáp án C.
