Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao bằng $\dfrac{3R}{2}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\dfrac{R}{2}$. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{R}^{2}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{4}$.
Thiết diện song song với trục $O{O}'$ là hình chữ nhật $AB{B}'{A}'$ (hình bên).
Vì $O{O}'\text{//}\left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left[ O{O}';\left( \alpha \right) \right]=d\left[ O;\left( AB \right) \right]$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ mà $OA=OB\Rightarrow OH\bot AB$
Tam giác $OAH$ vuông tại $H$, có $AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}$
$=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{R}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\Rightarrow AB=2AH=\sqrt{3}R$
Do đó $AB=\sqrt{3}R,A{A}'=\dfrac{3R}{2}\Rightarrow {{S}_{AB{B}'{A}'}}=\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
A. $\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
B. $\dfrac{3{{R}^{2}}}{2}$.
C. $\dfrac{\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{4}$.
Thiết diện song song với trục $O{O}'$ là hình chữ nhật $AB{B}'{A}'$ (hình bên).
Vì $O{O}'\text{//}\left( AB{B}'{A}' \right)\Rightarrow d\left[ O{O}';\left( \alpha \right) \right]=d\left[ O;\left( AB \right) \right]$
Gọi $H$ là trung điểm $AB$ mà $OA=OB\Rightarrow OH\bot AB$
Tam giác $OAH$ vuông tại $H$, có $AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}$
$=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{R}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{3}R}{2}\Rightarrow AB=2AH=\sqrt{3}R$
Do đó $AB=\sqrt{3}R,A{A}'=\dfrac{3R}{2}\Rightarrow {{S}_{AB{B}'{A}'}}=\dfrac{3\sqrt{3}{{R}^{2}}}{2}$.
Đáp án A.