Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng $R\sqrt{3}.$ Trên đường tròn tâm O lấy hai điểm cố định A,B sao cho $AB=2R.$ Một điểm M thay đổi trên đường tròn tâm O' sao cho diện tích tam giác MAB có giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất đó bằng
A. ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}\sqrt{3}.$
B. ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}.$
C. ${{S}_{\text{max}}}=4{{R}^{2}}.$
D. ${{S}_{\text{max}}}={{R}^{2}}\sqrt{3}.$
Gọi H là hình chiếu của M lên đường tròn tâm O.
Hạ $HK\bot AB,$ gọi I là trung điểm của $HK\Rightarrow I\in AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot HK \\
& AB\bot MH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( MHK \right)\Rightarrow AB\bot MI.$
Diện tích tam giác MAB là
$S=\dfrac{1}{2}.AB.MI=\dfrac{1}{2}.AB.\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}\le \dfrac{1}{2}.AB.\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{O}^{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}.2R.\sqrt{{{\left( R\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}=2{{R}^{2}}.$
Vậy ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}$, đạt được khi $I\equiv O.$
A. ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}\sqrt{3}.$
B. ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}.$
C. ${{S}_{\text{max}}}=4{{R}^{2}}.$
D. ${{S}_{\text{max}}}={{R}^{2}}\sqrt{3}.$
Gọi H là hình chiếu của M lên đường tròn tâm O.
Hạ $HK\bot AB,$ gọi I là trung điểm của $HK\Rightarrow I\in AB.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot HK \\
& AB\bot MH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( MHK \right)\Rightarrow AB\bot MI.$
Diện tích tam giác MAB là
$S=\dfrac{1}{2}.AB.MI=\dfrac{1}{2}.AB.\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{I}^{2}}}\le \dfrac{1}{2}.AB.\sqrt{M{{H}^{2}}+H{{O}^{2}}}$
$=\dfrac{1}{2}.2R.\sqrt{{{\left( R\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{R}^{2}}}=2{{R}^{2}}.$
Vậy ${{S}_{\text{max}}}=2{{R}^{2}}$, đạt được khi $I\equiv O.$
Đáp án B.