Cho hình thang cong $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường...

Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right)$, đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{k}{\sqrt{k}dx}=\int\limits_{0}^{k}{{{x}^{\dfrac{1}{2}}}dx}=\dfrac{2}{3}{{x}^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{aligned}
& k \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{2}{3}k\sqrt{k} \\
& {{S}_{2}}=\int\limits_{k}^{4}{\sqrt{x}dx}=\int\limits_{k}^{4}{{{x}^{\dfrac{1}{2}}}dx}=\dfrac{2}{3}{{x}^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& k \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}k\sqrt{k} \\
\end{aligned} \right.$
Vì ${{S}_{1}}=3{{S}_{2}}$
$\Rightarrow \dfrac{2}{3}k\sqrt{k}=3\left( \dfrac{16}{3}-\dfrac{2}{3}k\sqrt{k} \right)$
$\Leftrightarrow \dfrac{8}{3}k\sqrt{k}=16\Leftrightarrow k\sqrt{k}=6$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{k}^{3}}}=6\Leftrightarrow k=\sqrt[3]{36}\approx 3,302\in \left( 3,3;3,5 \right).$